Непрерывность элементарных функций

Все основные элементарные функции непрерывны

Каждая из основных элементарных функций непрерывна в каждой точке своей области существования. В частности:

• $y=x^n$, $y=a^x$, $y=\sin x$, $y=\cos x$ — непрерывны на всей числовой прямой $(-\infty;+\infty)$;
• $y=x^{-\alpha}$ $(\alpha>0)$, $y=\log_a x$ — непрерывны на $(0;+\infty)$;
• $y=\operatorname{tg}x$ непрерывна на каждом промежутке между соседними точками разрыва $\tfrac{\pi}2+\pi k$.

Непрерывность суперпозиции

Если функция $x=\varphi(u)$ непрерывна в точке $u_0$, а функция $y=f(x)$ непрерывна в точке $x_0=\varphi(u_0)$, то составная функция $F(u)=f(\varphi(u))$ непрерывна в точке $u_0$. Например, $y=\sin x^3$ непрерывна на всей прямой — как суперпозиция непрерывных $y=\sin u$ и $u=x^3$. А $y=\sqrt{1-x^2}$ непрерывна там, где $1-x^2\ge0$, то есть на отрезке $[-1;1]$.

Теорема о промежуточных значениях

Пусть функция $y=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, причём $f(a)=A$, $f(b)=B$, $A\ne B$. Тогда для любого числа $C$ между $A$ и $B$ найдётся хотя бы одна точка $x_0\in(a;b)$, для которой $f(x_0)=C$.

Иначе говоря: непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между значениями на его концах. Подвигай ползунок $C$ — увидишь, как меняется число точек пересечения.

Запомни