🎯Из жизниЕсли утром температура воздуха была $-3°$, а днём стала $+5°$, то в какой-то момент термометр обязательно показывал ровно $0°$ — температура не может «перепрыгнуть» через значение, не пройдя через него, ведь она меняется непрерывно. Это и есть суть теоремы о промежуточных значениях.
Все основные элементарные функции непрерывны
Каждая из основных элементарных функций непрерывна в каждой точке своей области существования. В частности:
$y=x^n$, $y=a^x$, $y=\sin x$, $y=\cos x$ — непрерывны на всей числовой прямой $(-\infty;+\infty)$;
$y=x^{-\alpha}$ $(\alpha>0)$, $y=\log_a x$ — непрерывны на $(0;+\infty)$;
$y=\operatorname{tg}x$ непрерывна на каждом промежутке между соседними точками разрыва $\tfrac{\pi}2+\pi k$.
Непрерывность суперпозиции
Если функция $x=\varphi(u)$ непрерывна в точке $u_0$, а функция $y=f(x)$ непрерывна в точке $x_0=\varphi(u_0)$, то составная функция $F(u)=f(\varphi(u))$ непрерывна в точке $u_0$. Например, $y=\sin x^3$ непрерывна на всей прямой — как суперпозиция непрерывных $y=\sin u$ и $u=x^3$. А $y=\sqrt{1-x^2}$ непрерывна там, где $1-x^2\ge0$, то есть на отрезке $[-1;1]$.
Теорема о промежуточных значениях
Пусть функция $y=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, причём $f(a)=A$, $f(b)=B$, $A\ne B$. Тогда для любого числа $C$ между $A$ и $B$ найдётся хотя бы одна точка $x_0\in(a;b)$, для которой $f(x_0)=C$.
Иначе говоря: непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между значениями на его концах. Подвигай ползунок $C$ справа — увидишь, как меняется число точек пересечения.
Запомни
🧠Непрерывность элементарных функций
основные элементарные функции непрерывны на всей области существования;
суперпозиция непрерывных функций непрерывна;
непрерывная на $[a;b]$ функция принимает все значения между $f(a)$ и $f(b)$ — «без пропусков».