11 класс · Функции. Производные. Интегралы

Понятие непрерывности функции

🎯 Из жизниНепрерывный график можно нарисовать одним движением карандаша, не отрывая его от бумаги. А если в графике есть «скачок» (например, стоимость посылки скачком меняется при переходе через границу веса) — карандаш пришлось бы оторвать. Именно это интуитивное «без разрывов» математика уточняет через приращения.

Приращение аргумента и функции

Возьмём точку $x_0$ и близкую к ней точку $x=x_0+\Delta x$. Число $\Delta x$ называют приращением аргумента. Разность

$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$

называют приращением функции в точке $x_0$, соответствующим приращению $\Delta x$.

📘 ОпределениеФункцию $y=f(x)$, определённую на интервале $(a;b)$, называют непрерывной в точке $x_0$ этого интервала, если приращение функции стремится к нулю при любом способе стремления $\Delta x$ к нулю: $\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=0$. Если это не выполняется хотя бы при одном способе стремления $\Delta x\to0$ — функция разрывна в точке $x_0$.

Эквивалентная формулировка

Из определения следует равносильное равенство:

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$

То есть функция непрерывна в точке $x_0$, если она там определена, имеет предел, и этот предел совпадает со значением функции. Смотри интерактив: переключай непрерывный и разрывный график и уменьшай $\Delta x$ — на непрерывном графике $\Delta y\to0$ с обеих сторон, а на разрывном — только с одной.

Непрерывность на промежутке

Функцию называют непрерывной на отрезке $[a;b]$, если она непрерывна в каждой точке интервала $(a;b)$, непрерывна справа в точке $a$ и непрерывна слева в точке $b$. График такой функции — сплошная линия без разрывов.

⚠️ Частая ошибкаСчитать, что для непрерывности достаточно, чтобы функция была просто определена в точке $x_0$. На самом деле нужно ещё, чтобы предел в этой точке существовал и совпадал именно со значением $f(x_0)$ — разрыв возможен и там, где функция определена (см. пример справа при подходе справа).

Запомни

🧠 Непрерывность в точке
  • $\Delta y\to0$ при $\Delta x\to0$ — с любой стороны;
  • равносильно: $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$;
  • если предел слева ≠ предел справа (или один из них не существует) — точка разрыва.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике