🎯Из жизниУпругий шарик летел с постоянной скоростью, ударился о стену и мгновенно полетел в обратную сторону с той же по модулю скоростью. График скорости от времени в момент удара делает скачок — это классическая разрывная функция. А вот дырку от гвоздя, случайно оставленную в ровном полу, можно заделать — пол снова станет непрерывным.
📘ОпределениеФункция $y=f(x)$ разрывна в точке $x_0$, если для неё не выполняется условие непрерывности $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ — то есть предел не существует, или существует, но не равен значению функции в этой точке.
Устранимый и неустранимый разрыв
Пусть в точке $x_0$ у функции есть разрыв, но при подходе слева и справа существует один и тот же предел $A$. Такой разрыв называют устранимым: достаточно переопределить $f(x_0)=A$ — и функция станет непрерывной.
Если же пределы слева и справа не совпадают (или хотя бы один не существует) — разрыв неустранимый: как ни доопределяй функцию в точке $x_0$, непрерывность не получить. Переключай режим в интерактиве справа, чтобы увидеть оба случая.
Пример устранимого разрыва
Функция $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ при $x\ne1$ и $f(1)=3$. Так как $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2$, а $f(1)=3\ne2$ — разрыв есть, но он устраним: достаточно положить $f(1)=2$.
⚠️Частая ошибкаСчитать, что если предел в точке существует, то функция автоматически непрерывна. Предел может существовать, но не совпадать со значением функции в самой точке — тогда разрыв всё равно есть (просто устранимый).
Запомни
🧠Разрывные функции
разрыв в $x_0$ — не выполняется $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$;
устранимый разрыв — пределы слева и справа совпадают, но не равны $f(x_0)$;
неустранимый разрыв — пределы слева и справа разные (скачок) или не существуют.