🎯Из жизниПеревод «рубли → доллары» и «доллары → рубли» по одному курсу — взаимно обратные операции: применив одну, а потом другую, получишь исходную сумму. Так же устроены и взаимно обратные функции: $\varphi(f(x))=x$ и $f(\varphi(y))=y$.
📘ОпределениеЕсли $f$ непрерывна и строго монотонна на $[a;b]$ с областью изменения $[c;d]$, а $\varphi$ — обратная к ней функция, то $f$ и $\varphi$ называют взаимно обратными: каждая является обратной к другой. Их связывают тождества $\varphi(f(x))=x$ на $[a;b]$ и $f(\varphi(y))=y$ на $[c;d]$.
Свойство графиков
Графики взаимно обратных функций (обе записанные в привычном виде $y=\dots(x)$) симметричны относительно прямой $y=x$. Это следует из того, что точке $(x_0;y_0)$ на графике $f$ соответствует точка $(y_0;x_0)$ на графике $\varphi$ — а это ровно отражение относительно диагонали.
Пример: показательная и логарифмическая
Функции $y=3^x$, $x\in\mathbb{R}$, и $y=\log_3x$, $x\in(0;+\infty)$ — классическая пара взаимно обратных функций: обе непрерывны и строго возрастают, а их графики симметричны относительно $y=x$. Потяни точку в интерактиве — увидишь, как $\log_3$ «отменяет» действие $3^x$.
⚠️Частая ошибкаПутать области определения при переходе к обратной функции. Область значений $f$ становится областью определения $\varphi$, и наоборот — их нельзя выбирать независимо друг от друга.
Запомни
🧠Взаимно обратные функции
$\varphi(f(x))=x$ и $f(\varphi(y))=y$ — функции «отменяют» действие друг друга;
достаточное условие существования обратной — строгая монотонность и непрерывность;
графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.