11 класс · Функции. Производные. Интегралы

Понятие обратной функции

🎯 Из жизниЕсли тело падает с высоты $H$, то по времени $t$ можно найти пройденный путь $s=\tfrac g2t^2$. А если известен пройденный путь $s$, то по нему однозначно находится время $t=\sqrt{2s/g}$. Вторая формула — «обратный ход» первой: та же связь между величинами, но взгляд с другой стороны.
📘 ОпределениеПусть $y=f(x)$, $x\in J$, строго монотонна (возрастает или убывает) и непрерывна на промежутке $J$, а область её изменения — промежуток $J_1$. Тогда для каждого $y\in J_1$ существует единственное $x\in J$, для которого $f(x)=y$. Функцию $x=\varphi(y)$, $y\in J_1$, задающую эту зависимость, называют обратной к $f$.

Пример: $y=x^2$ и $y=\sqrt{x}$

Пусть $y=x^2$, $x\in[0;2]$. Когда $x$ возрастает от $0$ до $2$, $y$ пробегает все значения от $0$ до $4$. Каждому $y\in[0;4]$ отвечает ровно одно $x\in[0;2]$, поэтому обратная функция существует:

$$x=\sqrt{y},\quad y\in[0;4]$$

Заменив в привычной записи $x$ на $y$: обратная к $y=x^2$ ($x\in[0;2]$) — это $y=\sqrt{x}$, $x\in[0;4]$. Потяни точку на синей кривой в интерактиве — увидишь, как её зеркальное отражение движется по оранжевой кривой обратной функции.

Графики совпадают при симметрии

Ключевое геометрическое свойство: график обратной функции получается из графика исходной зеркальным отражением относительно прямой $y=x$. Это потому что точка $(x_0;y_0)$ на графике $f$ соответствует точке $(y_0;x_0)$ на графике обратной функции — а это в точности отражение относительно диагонали $y=x$.

⚠️ Частая ошибкаПытаться найти обратную функцию для немонотонной функции на всей области определения. Например, у $y=x^2$ на $\mathbb{R}$ обратной функции нет — одному $y>0$ соответствуют сразу два значения $x$ ($\pm\sqrt y$). Обратная существует только на промежутке строгой монотонности.

Запомни

🧠 Обратная функция
  • обратная существует, если функция строго монотонна и непрерывна на промежутке;
  • чтобы найти обратную — выразить $x$ через $y$, затем (для привычной записи) поменять буквы местами;
  • график обратной функции — зеркальное отражение исходного графика относительно прямой $y=x$.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике