🎯Из жизниЕсли известен синус угла, сам угол однозначно не восстановить — например, $\sin30°=\sin150°=0{,}5$. Чтобы вернуть «однозначность», у синуса выбирают только один кусок графика — на нём он строго монотонен, и уже для него строят обратную функцию $\arcsin$.
📘ОпределениеФункция $y=\sin x$ строго возрастает и непрерывна на отрезке $\left[-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2\right]$, поэтому там у неё есть обратная функция — $y=\arcsin x$, $x\in[-1;1]$. Аналогично строят $\arccos$ (из $\cos x$ на $[0;\pi]$), $\operatorname{arctg}$ (из $\operatorname{tg}x$ на $\left(-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2\right)$) и $\operatorname{arcctg}$ (из $\operatorname{ctg}x$ на $(0;\pi)$).
Свойства (переключай функции справа)
Функция
Область определения
Область значений
Монотонность
$\arcsin x$
$[-1;1]$
$\left[-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2\right]$
возрастает
$\arccos x$
$[-1;1]$
$[0;\pi]$
убывает
$\operatorname{arctg}x$
$\mathbb{R}$
$\left(-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2\right)$
возрастает
$\operatorname{arcctg}x$
$\mathbb{R}$
$(0;\pi)$
убывает
Все четыре функции непрерывны на своей области определения, а $\arcsin$ ещё и нечётная: $\arcsin(-x)=-\arcsin x$.
Как строится график
Пользуясь свойством графиков взаимно обратных функций, график $y=\arcsin x$ строят так: берут график $y=\sin x$ только на отрезке $\left[-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2\right]$ и отражают его относительно прямой $y=x$. Так же строятся графики остальных трёх функций.
⚠️Частая ошибкаПисать $\arcsin(\sin x)=x$ для любого $x$. Это верно только при $x\in\left[-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2\right]$ — за пределами этого отрезка равенство нарушается, ведь $\arcsin$ возвращает значение только из этого промежутка.
Запомни
🧠Обратные тригонометрические функции
каждая обратная тригонометрическая функция определена на «главной ветви» соответствующей прямой функции;