11 класс · Функции. Производные. Интегралы
3.3*. Обратные тригонометрические функции
Из жизниЕсли известен синус угла, сам угол однозначно не восстановить — например, $\sin30°=\sin150°=0{,}5$. Чтобы вернуть «однозначность», у синуса выбирают только один кусок графика — на нём он строго монотонен, и уже для него строят обратную функцию $\arcsin$.
ОпределениеФункция $y=\sin x$ строго возрастает и непрерывна на отрезке $\left[-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2\right]$, поэтому там у неё есть обратная функция — $y=\arcsin x$, $x\in[-1;1]$. Аналогично строят $\arccos$ (из $\cos x$ на $[0;\pi]$), $\operatorname{arctg}$ (из $\operatorname{tg}x$ на $\left(-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2\right)$) и $\operatorname{arcctg}$ (из $\operatorname{ctg}x$ на $(0;\pi)$).
Свойства (переключай функции справа)
| Функция | Область определения | Область значений | Монотонность |
| $\arcsin x$ | $[-1;1]$ | $\left[-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2\right]$ | возрастает |
| $\arccos x$ | $[-1;1]$ | $[0;\pi]$ | убывает |
| $\operatorname{arctg}x$ | $\mathbb{R}$ | $\left(-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2\right)$ | возрастает |
| $\operatorname{arcctg}x$ | $\mathbb{R}$ | $(0;\pi)$ | убывает |
Все четыре функции непрерывны на своей области определения, а $\arcsin$ ещё и нечётная: $\arcsin(-x)=-\arcsin x$.
Как строится график
Пользуясь свойством графиков взаимно обратных функций, график $y=\arcsin x$ строят так: берут график $y=\sin x$ только на отрезке $\left[-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2\right]$ и отражают его относительно прямой $y=x$. Так же строятся графики остальных трёх функций.
Частая ошибкаПисать $\arcsin(\sin x)=x$ для любого $x$. Это верно только при $x\in\left[-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2\right]$ — за пределами этого отрезка равенство нарушается, ведь $\arcsin$ возвращает значение только из этого промежутка.
Запомни
Обратные тригонометрические функции
- каждая обратная тригонометрическая функция определена на «главной ветви» соответствующей прямой функции;
- $\arcsin,\operatorname{arctg}$ — возрастают; $\arccos,\operatorname{arcctg}$ — убывают;
- все четыре непрерывны и ограничены на своей области определения.