Для любого $x\in[-1;1]$:
$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}$$
Доказывается через $\sin\!\left(\tfrac\pi2-\arccos x\right)=\cos(\arccos x)=x$ и определение арксинуса.
Пусть $\alpha=\arcsin x$, тогда $\alpha\in\left[-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2\right]$ и $\sin\alpha=x$ по определению. Так как на этом отрезке $\cos\alpha\ge0$:
$$\sin(\arcsin x)=x,\qquad \cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$$
$$\operatorname{tg}(\arcsin x)=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ (|x|<1),\qquad \operatorname{ctg}(\arcsin x)=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}\ (x\ne0)$$
Смотри интерактив справа: сдвигай $x$ и наблюдай, как высота и основание прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 меняются вместе.
Вычислим $\cos\!\left(\arcsin\tfrac45+\arcsin\tfrac{5}{13}+\arcsin\tfrac{16}{65}\right)$. Обозначив слагаемые через $\alpha,\beta,\gamma\in(0;\tfrac\pi2)$, находим $\cos\alpha=\tfrac35$, $\cos\beta=\tfrac{12}{13}$, $\cos\gamma=\tfrac{63}{65}$ (по формуле выше), а затем раскрываем $\cos(\alpha+\beta+\gamma)$ через формулы сложения — итог равен $0$.