💡 Из жизни: представь, что список покупок уже полностью
обработан — все одинаковые товары сложены в одну строку, повторов не осталось,
и дальше упрощать уже нечего: «$4$ батона, $3$ пачки молока». Это последняя,
самая компактная запись списка. У многочленов есть такая же «финальная» запись —
её называют стандартным видом.
Мы уже знаем, что многочлен можно упрощать: переставлять члены местами и
складывать подобные. Когда упрощать больше нечего — многочлен принял
стандартный вид.
Определение стандартного вида
Определение. Многочлен имеет стандартный вид,
если все его члены записаны в стандартном виде и среди них нет подобных.
А вот многочлены не стандартного вида: $a\cdot a-5a+6$ — здесь
не все члены записаны в стандартном виде ($a\cdot a$ нужно свернуть в $a^2$);
$a^3-2ab+b^2-3ab-11$ — здесь есть подобные члены, $-2ab$ и $-3ab$;
$3-5+a^2$ — здесь подобны первый и второй члены, $3$ и $-5$.
Многочлен стандартного вида из двух членов называют двучленом,
из трёх членов — трёхчленом, и так далее. Например,
$\dfrac{1}{7}a^2-2b$ — двучлен; $3a-2b-7$ — трёхчлен; $a+b-c-d$ — четырёхчлен.
Одночлен тоже считают многочленом — состоящим всего из одного члена.
Как привести многочлен к стандартному виду
Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого нужно выполнить
два действия по порядку. Нажимай на шаги справа, чтобы увидеть их на примере
многочлена $a^3+2aba+b^2a+ba^2-2abb-b^2b$.
1
Шаг 1.
Каждый член приводим к стандартному виду: $2aba=2a^2b$, $b^2a=ab^2$,
$ba^2=a^2b$, $-2abb=-2ab^2$, $-b^2b=-b^3$.
2
Шаг 2.
Находим подобные члены: $2a^2b$ и $a^2b$ — подобны; $ab^2$ и $-2ab^2$ — тоже
подобны.
🧠 Замечание. Если после приведения к стандартному виду
многочлен превращается в число $0$, его называют нулевым многочленом.
Например, $a-a=0$ и $3x^2-x^2-2x^2=0$ — оба многочлена нулевые, хотя записаны
были совсем не в стандартном виде.
Степень многочлена стандартного вида
Определение.Степенью ненулевого многочлена
стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, входящих
в этот многочлен.
Например, многочлен
$\dfrac{1}{3}a^2-2b+7$
записан в стандартном виде. Найдём степень каждого его члена и выберем
наибольшую.
1
Шаг 1.
Определяем степень каждого одночлена: $\dfrac{1}{3}a^2$ — степень $2$;
$-2b$ — степень $1$; $7$ — степень $0$.
2
Шаг 2.
Сравниваем степени: $2,\ 1,\ 0$.
3
Шаг 3.
Выбираем наибольшую — это и есть степень многочлена: степень равна $2$.
Ещё пример: многочлен $-x^3yz-x+y^2$ имеет степень $5$, потому что входящие в
него одночлены имеют степени $5,\ 1$ и $2$, а наибольшая из них — $5$.
Многочлен $2x-5$ имеет степень $1$ — говорят, что это многочлен первой степени
относительно $x$.
Любое отличное от нуля число — это многочлен нулевой степени. А вот у числа
$0$ (нулевого многочлена) степень не определена — единственный
такой случай.
Частая ошибка
⚠️ Частая ошибка: степень многочлена ищут, складывая
степени всех его членов, вместо того чтобы взять наибольшую. Например, для
многочлена $\dfrac{1}{3}a^2-2b+7$ ошибочно считают: $2+1+0=3$. Это неверно —
степень многочлена равна наибольшей из степеней его членов, то
есть $2$, а не их сумме.
Запомни
🧠 Многочлен стандартного вида — это многочлен, в котором каждый член уже
записан в стандартном виде и нет подобных членов. Чтобы привести многочлен к
такому виду: 1) каждый член приводим к стандартному виду; 2) складываем подобные
члены. Степень ненулевого многочлена стандартного вида —
наибольшая из степеней его членов. У нулевого многочлена степень не определена.