🎯Из жизниВыручка магазина — это цена товара, умноженная на количество продаж. Если и цена, и спрос меняются со временем, скорость изменения выручки — это не просто произведение скоростей: нужно учесть, как меняется каждый множитель, пока другой «стоит на месте». Именно так устроена производная произведения.
Производная произведения
🔑Теорема 1Если функции $u(x)$ и $v(x)$ имеют производные в точке $x$, то их произведение $f(x)=u(x)v(x)$ тоже имеет производную:
3При $\Delta x\to0$: $\dfrac{\Delta u}{\Delta x}\to u'(x)$, $\dfrac{\Delta v}{\Delta x}\to v'(x)$, а $\Delta v\to0$, так как $v$ непрерывна в точке $x$ (п. 4.3).
Пример 1. $(x(x^3-1))'=x'(x^3-1)+x(x^3-1)'=1\cdot(x^3-1)+x\cdot3x^2=4x^3-1$.
Производная частного
🔑Теорема 2Если $u(x)$ и $v(x)$ имеют производные в точке $x$ и $v(x)\ne0$, то частное $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ тоже имеет производную:
$$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$
Доказывается тем же приёмом: приращение $\Delta f$ приводят к общему знаменателю, делят на $\Delta x$ и переходят к пределу при $\Delta x\to0$, используя непрерывность $v(x)$ (п. 4.3), чтобы $\Delta v\to0$.
Пример 2. $\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)'=\dfrac{(x-1)'(x+1)-(x-1)(x+1)'}{(x+1)^2}=\dfrac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^2}=\dfrac{2}{(x+1)^2}$.
⚠️Частая ошибка$(uv)'\ne u'v'$ — производная произведения не равна произведению производных. И в частном порядок в числителе важен: $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, а не $\dfrac{uv'-u'v}{v^2}$ — перепутанный знак даёт неверный ответ.
Запомни
🧠Формулы
$(uv)'=u'v+uv'$ — каждый множитель по очереди «дифференцируется», второй остаётся как есть;
$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ — знак «минус» и знаменатель $v^2$ запоминай вместе;
$(Cf(x))'=Cf'(x)$ — постоянный множитель просто выносится за знак производной.