11 класс · Функции. Производные. Интегралы

4.3*. Непрерывность функции, имеющей производную. Дифференциал

🎯 Из жизниКогда навигатор оценивает, сколько топлива уйдёт при небольшом изменении скорости, он не пересчитывает всё заново — он берёт касательную к графику расхода в текущей точке и смотрит, куда она «убегает» за маленький шаг. Это и есть дифференциал: линейное приближение изменения функции, которое почти не отличается от настоящего изменения, если шаг мал.

Теорема о непрерывности

🔑 ТеоремаЕсли функция имеет производную в точке $x$, то она непрерывна в этой точке.
1 Если у $f$ есть производная в точке $x$, то при $\Delta x\to0$ отношение $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\to f'(x)$ — конечному числу.
2 Значит, $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)+\alpha(\Delta x)$, где $\alpha(\Delta x)\to0$ при $\Delta x\to0$.
3 Умножим обе части на $\Delta x$: $\Delta y=f'(x)\Delta x+\alpha(\Delta x)\Delta x$ — сумма двух слагаемых, каждое из которых стремится к $0$ при $\Delta x\to0$.
4 Значит, $\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta y=0$, то есть $f$ непрерывна в точке $x$. Теорема доказана.

Обратное неверно: непрерывность в точке не гарантирует существования производной. Функция $y=|x|$ непрерывна всюду, но в точке $x=0$ производной не имеет — правый предел отношения $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ равен $1$, левый равен $-1$, единого предела нет.

Дифференциал функции

Первое слагаемое $f'(x)\Delta x$ в равенстве из шага 3 называют дифференциалом функции $f$ в точке $x$, отвечающим приращению $\Delta x$. Обозначают $df$ или $dy$:

$$dy=df=f'(x)\Delta x$$

Приращение аргумента $\Delta x$ принято обозначать $dx$ (это и есть дифференциал аргумента), тогда

$$dy=f'(x)\,dx$$

Отсюда производную можно записывать как отношение дифференциалов — привычный вид $\dfrac{dy}{dx}$:

$$f'(x)=\frac{dy}{dx}$$

Второе слагаемое $\alpha(\Delta x)\Delta x$ стремится к нулю быстрее, чем $\Delta x$ — его называют бесконечно малой высшего порядка. Поэтому при малых $\Delta x$ верно приближённое равенство:

$$\Delta y\approx dy=f'(x)\,dx$$
⚠️ Частая ошибка$\Delta y$ и $dy$ — это не одно и то же. $\Delta y$ — настоящее приращение функции (по кривой), $dy$ — приближение по касательной. Они совпадают лишь в пределе при $\Delta x\to0$; при конечном $\Delta x$ между ними всегда есть небольшая разница $\alpha(\Delta x)\Delta x$.

Пример

Оценим приближённо приращение функции $y=x^2$ в точке $x=10$ при $\Delta x=0{,}1$.

1 Находим производную: $y'=(x^2)'=2x$.
2 Дифференциал: $dy=y'\Delta x=2x\Delta x$.
3 Подставляем $x=10$, $\Delta x=0{,}1$: $dy=2\cdot10\cdot0{,}1=2$.

Значит, $\Delta y\approx2$. Справа на графике видно: чем меньше $\Delta x$, тем ближе настоящее приращение $\Delta y$ (синий отрезок) к дифференциалу $dy$ (оранжевый отрезок).

Запомни

🧠 Непрерывность и дифференциал
  • Существует производная $\Rightarrow$ функция непрерывна (обратное неверно, пример: $y=|x|$);
  • $dy=f'(x)\,dx$ — линейное приближение приращения по касательной;
  • $\Delta y\approx dy$ при малых $\Delta x$, точнее — тем точнее, чем меньше $\Delta x$;
  • $f'(x)=\dfrac{dy}{dx}$ — производную можно понимать как отношение дифференциалов.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике