🎯Из жизниТаблица производных — это как таблица умножения для матанализа: её не выводят каждый раз заново, а помнят наизусть и применяют. Справа можно переключать функции и видеть сразу две кривые: саму функцию (синяя) и её производную (оранжевая) — заметь, как ноль производной приходится ровно на вершину или впадину исходного графика.
Степенная функция
🔑Теорема 1–2Для любого натурального $n$: $(x^n)'=nx^{n-1}$. Для $x\ne0$: $(x^{-n})'=-nx^{-n-1}$.
Формула для $x^n$ доказывается индукцией: база $n=2$ уже известна ($x^2)'=2x$), а переход $(x^{k+1})'=(x^k\cdot x)'=kx^{k-1}\cdot x+x^k\cdot1=(k+1)x^k$ использует производную произведения (п. 4.4). Формула для $x^{-n}$ следует из неё же через производную частного $\left(\dfrac{1}{x^n}\right)'$.
Показательная и логарифмическая функции
🔑Теорема 3–4При $a>0,\ a\ne1$: $(a^x)'=a^x\ln a$, в частности $(e^x)'=e^x$. И при $x>0$: $(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}$, в частности $(\ln x)'=\dfrac1x$.
Обе формулы доказываются через второй замечательный предел: приращение $a^{x+\Delta x}-a^x$ и $\log_a(x+\Delta x)-\log_a x$ сводят к пределам $\dfrac{e^\alpha-1}{\alpha}\to1$ и $\dfrac{\ln(1+t)}{t}\to1$ при $\alpha,t\to0$ (см. п. 2.4).
Формула $(\text{tg}\,x)'$ выводится из $\sin x$ и $\cos x$ через производную частного: $\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)'=\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\dfrac1{\cos^2x}$.
⚠️Частая ошибка$(a^x)'\ne xa^{x-1}$ — это правило для степенной функции $x^a$, а не показательной $a^x$! У показательной функции переменная в показателе, и производная содержит множитель $\ln a$: $(a^x)'=a^x\ln a$.
Запомни
🧠Таблица производных
$(x^n)'=nx^{n-1}$;
$(e^x)'=e^x$ — единственная функция, равная своей производной;