🎯Из жизниСкорость надувания шарика зависит от скорости накачки воздуха, а объём шарика зависит от его радиуса — это цепочка из двух зависимостей. Чтобы найти, как быстро растёт объём при данной скорости накачки, нужно перемножить «скорости» на каждом звене цепочки. Это и есть правило дифференцирования сложной функции — «цепное правило».
Правило цепочки
🔑Теорема 1Пусть $y=f(x)=\varphi(\psi(x))$ — сложная функция: внешняя $y=\varphi(u)$ и внутренняя $u=\psi(x)$. Если обе имеют производные, то
$$y'_x=y'_u\cdot u'_x$$
Читают так: производная $y$ по $x$ равна производной $y$ по $u$, умноженной на производную $u$ по $x$.
1Задаём $\Delta x\ne0$, получаем приращения $\Delta u$ (у внутренней функции) и $\Delta y$ (у внешней). Так как $u=\psi(x)$ имеет производную, она непрерывна, и $\Delta u\to0$ при $\Delta x\to0$.
3Переходя к пределу при $\Delta x\to0$ (тогда и $\Delta u\to0$): $y'_x=y'_u\cdot u'_x$. Теорема доказана.
Примеры применения
Пример 1. $y=e^{2x}$: полагаем $y=e^u$, $u=2x$, тогда $y'=e^u\cdot2=2e^{2x}$.
Пример 3.$y=\sin(kx+b)$: полагаем $y=\sin u$, $u=kx+b$, тогда $y'=\cos u\cdot k=k\cos(kx+b)$.
Пример 4.$y=\sqrt{x}$ для $x>0$ — частный случай теоремы 2 ниже: $y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
Производная степенной функции $x^{\alpha}$
🔑Теорема 2Для $x>0$ и любого $\alpha\ne0$: $(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}$.
Доказательство — применение цепного правила: так как $x^{\alpha}=e^{\alpha\ln x}$, полагаем $y=e^u$, $u=\alpha\ln x$. Тогда $y'=e^u\cdot\alpha\cdot\dfrac1x=x^{\alpha}\cdot\dfrac{\alpha}{x}=\alpha x^{\alpha-1}$.
⚠️Частая ошибкаЗабыть про внутреннюю производную: $(\sin 2x)'\ne\cos 2x$ — правильно $(\sin 2x)'=\cos2x\cdot(2x)'=2\cos2x$. Множитель $u'_x$ в цепном правиле часто теряют, особенно когда внутренняя функция линейная и «выглядит простой».
Запомни
🧠Цепное правило
$y'_x=y'_u\cdot u'_x$ — «внешняя производная умножить на внутреннюю»;