🎯Из жизниЕсли известно, сколько секунд нужно, чтобы разогнаться до определённой скорости, можно узнать и обратное — как быстро растёт скорость в момент времени: это «переворачивание» одной зависимости в другую. Производная обратной функции — это в буквальном смысле перевёрнутая дробь: если $y$ растёт медленно при изменении $x$, то $x$ растёт быстро при изменении $y$, и наоборот.
Формула производной обратной функции
🔑ТеоремаПусть $y=f(x)$ обратна к непрерывной возрастающей функции $x=\varphi(y)$. Если $\varphi'(y)\ne0$, то
$$f'(x)=\frac{1}{\varphi'(y)}$$
Идея доказательства: при $\Delta x\to0$ (в силу непрерывности) и $\Delta y\to0$, а значит
Пример 1.$y=\arcsin x$ обратна к $x=\sin y$, $y\in(-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2)$. Тогда $(\arcsin x)'=\dfrac{1}{(\sin y)'}=\dfrac{1}{\cos y}$. Так как $\cos y>0$ на этом промежутке, $\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}=\sqrt{1-x^2}$, откуда
$$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
Пример 2.$y=\arccos x$: из тождества $\arcsin x+\arccos x=\tfrac\pi2$ сразу получаем
$$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
Пример 3.$y=\text{arctg}\,x$ обратна к $x=\text{tg}\,y$. Тогда $(\text{arctg}\,x)'=\dfrac{1}{1/\cos^2y}=\dfrac{1}{1+\text{tg}^2y}=\dfrac{1}{1+x^2}$.
Пример 4. С учётом цепного правила: $(\arcsin 3x)'=\dfrac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$, $\;(\arccos x^2)'=-\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$.
⚠️Частая ошибкаЗнаки у $\arcsin$ и $\arccos$ разные: $(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}>0$ (функция возрастает), а $(\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \lt 0$ (функция убывает). Перепутанный знак — самая частая ошибка в этой формуле.
Запомни
🧠Производные обратных функций
$f'(x)=\dfrac{1}{\varphi'(y)}$ — производная обратной функции равна обратной величине производной прямой;