11 класс · Функции. Производные. Интегралы
Уравнение касательной
Из жизниКогда машина едет по повороту и внезапно теряет сцепление с дорогой, она улетает по касательной — по прямой, направление которой совпадает с направлением движения в этой точке. Производная как раз и задаёт это направление: её значение — угловой коэффициент касательной к графику функции.
Уравнение касательной
ТеоремаЕсли $f(x)$ имеет производную в точке $x_0$, то график имеет в точке $(x_0;f(x_0))$ касательную с уравнением:
$$y-y_0=k(x-x_0),\quad y_0=f(x_0),\;\;k=f'(x_0)$$
Двигай точку по параболе справа — касательная и её уравнение пересчитываются в реальном времени.
Примеры
Пример 1. Касательная к $f(x)=x^2$ в точке $x_0=-2$: $y_0=4$, $k=2x_0=-4$, уравнение $y=-4x-4$.
Пример 2. Касательная к $f(x)=-x^2+6x-7$, параллельная прямой $y=4x+5$ (значит $k=4$): из $-2x_0+6=4$ находим $x_0=1$, $y_0=-2$, уравнение $y=4x-6$.
Пример 3. Через точку $M(-1;-3)$, не лежащую на параболе $f(x)=x^2$, проходят две касательные: составляем уравнение $y=2x_0x-x_0^2$, подставляем координаты $M$, получаем $x_0^2+2x_0-3=0$, откуда $x_0=1$ или $x_0=-3$ — касательные $y=2x-1$ и $y=-6x-9$.
Частая ошибкаЧерез точку, не лежащую на графике, может проходить несколько касательных (или ни одной) — нельзя сразу считать, что абсцисса точки касания совпадает с абсциссой заданной точки. Нужно ввести неизвестную $x_0$ и решить уравнение, как в примере 3.
Запомни
Уравнение касательной
- $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ — общая формула;
- $f'(x_0)$ — угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной;
- «Касательная параллельна прямой $y=kx+b$» означает $f'(x_0)=k$;
- Касательная из внешней точки — через неизвестную точку касания $x_0$ и уравнение.