🎯Из жизниПрибыль компании за месяц можно описать функцией — она сначала растёт, достигает пика, потом снижается. Чтобы найти этот пик, не обязательно перебирать все дни: достаточно найти момент, где скорость роста прибыли (производная) обращается в ноль — там график «на секунду останавливается», прежде чем повернуть вниз.
Локальный экстремум и производная
🔑Точка локального экстремумаТочку $x_0$ называют точкой локального максимума (минимума), если в некоторой окрестности $x_0$ значение $f(x_0)$ — наибольшее (наименьшее) среди соседних значений функции.
1Если в точке $x_0$ локального максимума функция имеет производную, то при $x\to x_0$ отношение $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le0$ при $x>x_0$ и $\ge0$ при $x \lt x_0$.
2Оба неравенства должны выполняться одновременно для одного и того же предела $f'(x_0)$ — а значит $f'(x_0)\le0$ и $f'(x_0)\ge0$.
3Единственное число, которое одновременно $\le0$ и $\ge0$ — это $0$. Значит, $f'(x_0)=0$.
Обратное неверно: $f'(x_0)=0$ не гарантирует экстремум. У функции $y=x^3$ в точке $x=0$ производная равна нулю, но экстремума там нет — график просто выравнивается на мгновение и продолжает расти.
Как искать максимум и минимум на отрезке
🔑Критическая точкаВнутренняя точка отрезка, где $f'(x)=0$ или производная не существует, называется критической точкой.
Алгоритм для непрерывной на $[a;b]$ функции: найти критические точки внутри $(a;b)$, вычислить значения функции в них и на концах отрезка, сравнить — наибольшее число даёт максимум, наименьшее — минимум.
Пример
Найдём максимум и минимум $f(x)=x^3-3x^2$ на отрезке $[-1;4]$ — переключай шаги справа, чтобы увидеть решение на графике.
1$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$.
2$f'(x)=0$ при $x=0$ и $x=2$ — обе точки внутри $(-1;4)$, значит критические.
4Наибольшее — $16$ в точке $x=4$ (максимум), наименьшее — $-4$ сразу в двух точках $x=-1$ и $x=2$ (минимум).
⚠️Частая ошибкаЗабывают проверить концы отрезка $a$ и $b$ — максимум или минимум на отрезке часто находится именно там, а не в критической точке (как в примере: максимум $16$ достигается на правом конце $x=4$, а не в критических точках $0$ или $2$).
Запомни
🧠Максимум и минимум на отрезке
В точке локального экстремума производная равна $0$ (если существует), но не наоборот;
Критическая точка — где $f'(x)=0$ или производной нет;
Максимум и минимум на $[a;b]$ ищем среди значений в критических точках И на концах $a,b$;
Наибольшее из найденных значений — максимум, наименьшее — минимум.