🎯Из жизниПродавец в уме быстро прикидывает сдачу, не считая точно до копейки — берёт ближайшее круглое число и слегка корректирует. Производная позволяет делать то же самое с любой функцией: взять «удобную» точку рядом, где значение известно точно, и подправить его на величину $f'(x_0)\Delta x$.
Формула приближённых вычислений
🔑ИдеяЕсли $f$ имеет производную в точке $x_0$, то при малых $\Delta x$:
$$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$$
Это то же приближение $\Delta y\approx dy$, что и в п. 4.3, только записанное для конкретного вычисления: выбираем «удобную» точку $x_0$ рядом с искомым значением, где $f(x_0)$ считается легко.
Примеры — переключай справа
Пример 1.$1{,}01^{10}$: $x_0=1$, $\Delta x=0{,}01$, $f'(x)=10x^9$. $f(1{,}01)\approx1+10\cdot0{,}01=1{,}1$.
Пример 2.$\sqrt{3{,}96}$: $x_0=4$, $\Delta x=-0{,}04$, $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. $\sqrt{3{,}96}\approx2+\dfrac14\cdot(-0{,}04)=1{,}99$.
Пример 3.$\text{tg}\,46°$: $x_0=\tfrac{\pi}{4}$, $\Delta x=\tfrac{\pi}{180}$, $f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}$. $\text{tg}\,46°\approx1+2\cdot\dfrac{\pi}{180}\approx1{,}035$.
⚠️Частая ошибкаВыбирать точку $x_0$ далеко от искомого значения — формула работает только при малых $\Delta x$. Например, для $\sqrt{3{,}96}$ логично взять $x_0=4$ ($\Delta x=-0{,}04$ — маленькое), а не $x_0=1$ ($\Delta x=2{,}96$ — слишком большое, ошибка будет заметной).
Запомни
🧠Приближённые вычисления
$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$ — главная формула;
Выбирай $x_0$ так, чтобы $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ считались легко, а $\Delta x$ было малым;