🎯Из жизниЕсли машина выехала и вернулась на то же место, значит, в какой-то момент её скорость была равна нулю (иначе она бы уехала всё дальше). Если за поездку из пункта А в пункт Б машина проехала путь со средней скоростью 60 км/ч, значит, в какой-то момент её мгновенная скорость была ровно 60 км/ч — это и есть теоремы Ролля и Лагранжа на языке физики.
Теорема Ролля
🔑Теорема 1Пусть $f(x)$ непрерывна на $[a;b]$, имеет производную на $(a;b)$ и $f(a)=f(b)$. Тогда найдётся точка $c\in(a;b)$, в которой $f'(c)=0$.
1Пусть $x_1,x_2$ — точки минимума и максимума $f$ на $[a;b]$.
2Если хотя бы одна из них — внутренняя точка $(a;b)$, то там локальный экстремум, значит производная равна $0$ (п. 5.1) — это и есть искомая $c$.
3Если обе — это концы отрезка, то $f(x_1)=f(x_2)=f(a)=f(b)$, а значит функция постоянна на $[a;b]$: тогда $f'(c)=0$ в любой точке $c\in(a;b)$.
Теорема Лагранжа
🔑Теорема 2Пусть $f(x)$ непрерывна на $[a;b]$ и имеет производную на $(a;b)$. Тогда найдётся точка $c\in(a;b)$, такая, что
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$
Геометрический смысл: левая часть — угловой коэффициент хорды через $(a;f(a))$ и $(b;f(b))$, правая — угловой коэффициент касательной в точке $c$. Теорема утверждает: на кривой всегда есть точка, где касательная параллельна хорде.
Доказывается сведением к теореме Ролля: вспомогательная функция $F(x)=(f(b)-f(a))x-(b-a)f(x)$ удовлетворяет $F(a)=F(b)$, значит есть $c$, где $F'(c)=0$ — это и даёт равенство (1).
Пример
Для $f(x)=\sqrt{x}$ на $[0;1]$: по теореме Лагранжа существует $c\in(0;1)$, где
$$f'(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=1$$
Так как $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, из $\dfrac{1}{2\sqrt{c}}=1$ находим $c=\dfrac14$.
⚠️Частая ошибкаТеорема Ролля — частный случай теоремы Лагранжа (при $f(a)=f(b)$ правая часть формулы Лагранжа даёт $0$), а не отдельное самостоятельное утверждение. Обе теоремы требуют непрерывности на замкнутом $[a;b]$ и дифференцируемости на открытом $(a;b)$ — если производной нет хотя бы в одной внутренней точке, вывод может быть неверным.
Запомни
🧠Теоремы о среднем
Ролль: $f(a)=f(b)\Rightarrow$ есть $c$, где $f'(c)=0$ (горизонтальная касательная);
Лагранж: всегда есть $c$, где касательная параллельна хорде $AB$;
$f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — точка «средней скорости»;
Обе теоремы требуют непрерывности на $[a;b]$ и дифференцируемости на $(a;b)$.