💡 Из жизни: представь два списка покупок в разных пакетах:
в одном «хлеб, молоко», в другом «яблоки, сыр». Чтобы получить один общий
список, просто выписываешь всё подряд — это и есть сумма.
А если из одного списка нужно вычесть другой (убрать то, что
уже куплено) — каждый вычитаемый товар как бы «отменяется», меняет знак на
противоположный. Многочлены складывают и вычитают точно так же.
Мы уже умеем приводить многочлен к стандартному виду. Теперь научимся
складывать и вычитать целые многочлены — а заодно узнаем, что такое
раскрытие скобок и обратное к нему действие —
заключение в скобки.
Определение суммы и разности многочленов
Определение.Сумма многочленов равна
многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.
Например, сумма двух многочленов $a^2+ab$ и $b^2+ac$ равна многочлену
$a^2+ab+b^2+ac$. Это можно записать в виде равенства
$(a^2+ab)+(b^2+ac)=a^2+ab+b^2+ac$.
Определение.Разность двух многочленов равна
многочлену, членами которого являются все члены уменьшаемого и взятые с
противоположными знаками все члены вычитаемого.
Например, разность двух многочленов $a^2+ab$ и $b^2+ac$ равна многочлену
$a^2+ab-b^2-ac$. Это можно записать в виде равенства
$(a^2+ab)-(b^2+ac)=a^2+ab-b^2-ac$.
Переход от левой части этих равенств к правой называют
раскрытием скобок.
Пример: складываем и вычитаем многочлены
Возьмём те же два многочлена — $a^2+ab$ и $b^2+ac$ — и распишем оба действия по шагам.
1
Складываем многочлены — просто выписываем все члены обоих подряд:
$$(a^2+ab)+(b^2+ac)=a^2+ab+b^2+ac.$$
2
Вычитаем многочлены — члены уменьшаемого $a^2+ab$ оставляем без изменений,
а члены вычитаемого $b^2+ac$ записываем с противоположными знаками:
3
$$(a^2+ab)-(b^2+ac)=a^2+ab-b^2-ac.$$
Правило раскрытия скобок
При раскрытии скобок пользуются правилами: если перед скобками стоит знак
плюс, то скобки можно опустить, не меняя знаки слагаемых,
заключённых в скобки; если перед скобками стоит знак минус,
то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в
скобки, на противоположный.
Если перед скобками нет никакого знака, то подразумевается, что стоит знак
плюс.
Разберём оба случая на примере. Нажимай на шаги справа, чтобы увидеть, как
раскрываются скобки со знаком «плюс»
и скобки со знаком «минус».
1
Знак «плюс».
В выражении $(a+b)+(c-d)$ перед обеими скобками стоит (или подразумевается)
знак «плюс» — скобки просто опускаем, знаки внутри не меняются:
$(a+b)+(c-d)=a+b+c-d$.
2
Знак «минус».
В выражении $(a+b)-(c-d)$ перед вторыми скобками стоит знак «минус» —
опускаем скобки, меняя знак каждого слагаемого внутри на противоположный:
$(a+b)-(c-d)=a+b-c+d$.
Ещё один пример из учебника, где скобок сразу несколько:
$$(a-b)+(d-c)-(x-y)-(z-t)=a-b+d-c-x+y-z+t.$$
Заключение в скобки — обратное действие
Переход от правой части равенств выше к левой называют
заключением в скобки.
При заключении в скобки пользуются правилами: чтобы заключить многочлен в
скобки со знаком плюс перед ними, надо записать в скобках
все его члены с теми же знаками; чтобы заключить многочлен в скобки со знаком
минус перед ними, надо записать в скобках все его члены с
противоположными знаками.
Возьмём многочлен $a-b-c+d$ и заключим его вторую часть в скобки двумя
разными способами — нажимай на шаги справа, чтобы увидеть оба варианта
на схеме.
1
Скобки со знаком «плюс» —
знаки членов внутри не меняются: $a-b-c+d=(a-b)+(-c+d)$.
2
Скобки со знаком «минус» —
знаки членов внутри меняются на противоположные: $a-b-c+d=(a-b)-(c-d)$.
Частая ошибка
⚠️ Частая ошибка: при раскрытии скобок со знаком «минус»
перед ними меняют знак только у первого члена внутри скобок, а
остальные оставляют как есть. Например, в выражении $(a+b)-(c-d)$ ошибочно
пишут $a+b-c-d$, забыв поменять знак у $-d$. На самом деле знак меняется у
каждого члена внутри скобок: $-c$ становится $+c$, а $-d$ —
$+d$. Верно: $a+b-c+d$.
Запомни
🧠 Сумма многочленов — многочлен из всех членов обоих слагаемых. Разность —
многочлен из членов уменьшаемого и членов вычитаемого с противоположными
знаками. Раскрывая скобки: знак «плюс» перед скобками — знаки внутри не
меняются, знак «минус» — знак каждого члена внутри меняется на
противоположный. Заключая в скобки, действуют те же правила в обратную
сторону.