🎯Из жизниЕсли спидометр машины показывает положительную скорость, расстояние до дома растёт; если скорость отрицательная (машина едет назад) — расстояние убывает. Знак производной работает точно так же для любой функции: пока $f'(x) \gt 0$, функция растёт, пока $f'(x) \lt 0$ — убывает.
Знак производной и монотонность
🔑ТеоремаПусть $f(x)$ непрерывна на промежутке $I$ и имеет производную внутри него. Тогда:
аесли $f'(x) \gt 0$ всюду внутри $I$ — функция возрастает на $I$;
бесли $f'(x) \lt 0$ всюду внутри $I$ — функция убывает на $I$;
весли $f'(x)=0$ всюду внутри $I$ — функция постоянна на $I$.
Доказательство опирается на теорему Лагранжа (п. 5.4*): для любых $x_1 \lt x_2$ из $I$ найдётся $c$, что $f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)$ — знак разности $f(x_2)-f(x_1)$ совпадает со знаком $f'(c)$.
Признак локального экстремума
Если в критической точке $x_0$ производная меняет знак с «+» на «−» — это точка максимума; с «−» на «+» — точка минимума.
Пример. Для $f(x)=x^3-6x^2+9x-1$: $f'(x)=3(x-1)(x-3)$. Знаки: «+» на $(-\infty;1)$, «−» на $(1;3)$, «+» на $(3;+\infty)$. Значит, $x=1$ — точка максимума, $x=3$ — точка минимума (график справа).
⚠️Частая ошибкаОпределять промежутки монотонности без учёта области определения функции. Например, $f(x)=\ln(x^2-3)$ убывает на $(-\infty;-\sqrt3)$ и возрастает на $(\sqrt3;+\infty)$ — но нельзя говорить о поведении на всей числовой прямой, ведь при $-\sqrt3\le x\le\sqrt3$ функция вообще не определена.
Запомни
🧠Знак производной
$f'(x) \gt 0$ на промежутке $\Rightarrow$ функция возрастает;
$f'(x) \lt 0$ на промежутке $\Rightarrow$ функция убывает;
Смена знака с «+» на «−» в критической точке — максимум, с «−» на «+» — минимум;
Промежутки монотонности ищем только внутри области определения функции.