🚗ИдеяАвтомобиль едет по прямой дороге. Его координата (пройденный путь) — это функция времени $s(t)$. Первая производная $s'(t)$ — скорость в этот момент (спидометр). А если посмотреть, как меняется сама скорость, получим ускорение — это производная от скорости, то есть вторая производная пути. Переключай вкладки справа — $s(t)$, $s'(t)$, $s''(t)$ — и смотри, как каждая следующая кривая получается из предыдущей.
📐ОпределениеПусть функция $f(x)$ имеет производную $f'(x)$ в каждой точке интервала $I$. Если функция $f'(x)$ в свою очередь имеет производную в каждой точке $I$, то её называют второй производной функции $f(x)$ и обозначают $f''(x)$. Аналогично определяются производные высших порядков $f^{(n)}(x)$ при $n \geq 3$: каждая следующая — это производная от предыдущей.
Саму $f'(x)$ иногда называют первой производной функции $f(x)$, чтобы подчеркнуть порядок.
Пример
Найдём вторую производную функции $f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.
1Берём первую производную: $$f'(x) = (x^4+x^3+x^2+x+1)' = 4x^3+3x^2+2x+1.$$
2Ещё раз дифференцируем — теперь уже $f'(x)$: $$f''(x) = (4x^3+3x^2+2x+1)' = 12x^2+6x+2.$$
Для $f(x)=\sin x$ производные идут по кругу с периодом 4: $f'=\cos x$, $f''=-\sin x$, $f'''=-\cos x$, $f^{(4)}=\sin x$ — дальше повторяется.
Механический смысл
Если точка движется по прямой по закону $s=f(t)$, то $s'=f'(t)$ — это скорость, а $s''=f''(t)$ — ускорение (скорость изменения скорости).
Движение равномерное ($s=at+b$): скорость $s'=a$ постоянна, ускорение $s''=0$.
Движение равноускоренное ($s=at^2+bt+c$): скорость $s'=2at+b$ меняется, а ускорение $s''=2a$ — постоянное число.
⚠️Частая ошибкаУченики путают порядок дифференцирования: чтобы найти $f''(x)$, нужно продифференцировать уже готовую $f'(x)$, а не исходную $f(x)$ второй раз "с нуля" по другому правилу. Это одна и та же операция взятия производной, применённая дважды подряд.
Запомни
🧠Производные высших порядков
$f''(x) = (f'(x))'$ — производная от производной;
$f^{(n)}(x)$ — результат $n$-кратного дифференцирования;
для пути $s(t)$: $s'$ — скорость, $s''$ — ускорение.