🥣ИдеяПредставь чашку и купол. Дно чашки (выпуклость вниз) всегда лежит выше любой прямой, приложенной к её краю. Купол крыши (выпуклость вверх) наоборот — весь ниже прямой, касающейся его сверху. Так же ведёт себя и график функции возле касательной — это и есть выпуклость.
📐ОпределениеГрафик функции называют выпуклым вниз на интервале $(a;b)$, если он расположен выше касательной, проведённой в любой его точке этого интервала. График называют выпуклым вверх, если он расположен ниже касательной в любой точке.
📌Признак по второй производнойЕсли $f''(x) > 0$ на $(a;b)$ — график выпуклый вниз. Если $f''(x) < 0$ на $(a;b)$ — график выпуклый вверх. Логика та же, что для первой производной и монотонности: $f''$ — это производная от $f'$, значит её знак показывает, растёт ли угловой коэффициент касательной.
Точка перегиба
Точка $x_0$ называется точкой перегиба графика, если при переходе через неё кривая переходит с одной стороны касательной на другую — то есть вторая производная меняет знак: с «$+$» на «$-$» или наоборот.
Как искать: решить уравнение $f''(x)=0$ и проверить, меняется ли знак $f''$ в найденных корнях.
2$f''(x)=0$ при $x=1$. При $x<1$ имеем $f''(x)<0$, при $x>1$ имеем $f''(x)>0$ — знак меняется, значит $x=1$ — точка перегиба.
3На $(-\infty;1)$ график выпуклый вверх, на $(1;+\infty)$ — выпуклый вниз.
⚠️Частая ошибкаНе путай точку перегиба с точкой экстремума! В экстремуме знак меняет первая производная $f'$ (функция перестаёт расти/убывать), а в точке перегиба знак меняет вторая производная $f''$ (меняется направление выпуклости), при этом сама функция может продолжать расти или убывать как ни в чём не бывало.
Запомни
🧠Выпуклость графика
$f''(x)>0$ — выпуклость вниз (график выше касательной);
$f''(x)<0$ — выпуклость вверх (график ниже касательной);
точка перегиба — корень $f''(x)=0$, где $f''$ меняет знак.