Алгебра · 11 класс · Глава I · § 5

5.8*. Экстремум функции с единственной критической точкой

⛰️ ИдеяЕсли на всём промежутке у функции есть только одна "подозрительная" точка (где производная равна нулю), то не нужно сравнивать значения функции на всех концах и во всех точках — достаточно понять, растёт функция до этой точки или падает, и что происходит после. Одна гора на всём маршруте — сразу ясно, вершина это или яма.
📐 Утверждение 1Пусть $x_0$ — единственная критическая точка функции $f(x)$ на промежутке $I$ (внутри него), и найдутся точки $x_1
  • если $f'(x_1)>0$ и $f'(x_2)<0$ — в $x_0$ максимум на всём $I$;
  • если $f'(x_1)<0$ и $f'(x_2)>0$ — в $x_0$ минимум на всём $I$.

Это сильнее, чем локальный экстремум: раз других критических точек нет, экстремум единственный — сразу и наибольшее (или наименьшее) значение на всём промежутке.

Пример

Найдём максимум функции $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ на интервале $(-\infty;\,0)$.

1 $$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}.$$
2 На $(-\infty;0)$ единственная критическая точка — $x=-1$ (там $f'(-1)=0$).
3 Слева от $-1$ (например, $x=-2$): $f'(-2)=1-\tfrac14=\tfrac34>0$ — функция растёт. Справа (например, $x=-0.5$): $f'(-0{,}5)=1-4=-3<0$ — функция убывает.
4 Знак меняется с «$+$» на «$-$» → в $x=-1$ максимум. $$\max_{(-\infty;0)} f(x) = f(-1) = -1-1=-2.$$

Через вторую производную

📌 Утверждение 2Если $x_0$ — единственная критическая точка ($f'(x_0)=0$) и существует $f''(x_0)$, то: при $f''(x_0)>0$ — минимум, при $f''(x_0)<0$ — максимум на всём промежутке.
⚠️ Частая ошибкаУтверждение работает только когда критическая точка на промежутке ровно одна. Если их несколько, каждая даёт только локальный экстремум — сравнивать наибольшее/наименьшее значение нужно отдельно, перебирая все критические точки и границы промежутка.

Запомни

🧠 Единственная критическая точка
  • если критическая точка на промежутке одна — найденный локальный экстремум сразу и глобальный (на всём промежутке);
  • «+» → «−» слева направо — максимум; «−» → «+» — минимум;
  • то же самое можно проверить через знак $f''(x_0)$.
§5 · п.5.7* Выпуклость графика функции Все темы §5 · п.5.9 Задачи на максимум и минимум
$f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ на $(-\infty;0)$ — единственный максимум в $x=-1$
x