📦ИдеяИз квадратного листа жести вырезают по углам одинаковые квадратики и загибают края — получается открытая коробка. Чем больше вырезать — тем выше борта, но тем меньше дно. Есть какой-то "золотой" размер вырезаемого квадрата, при котором объём коробки максимален. Найти его — классическая задача на производную.
Как решать такие задачи
1Выразить величину, которую нужно оптимизировать (объём, площадь и т.п.), как функцию одной переменной $f(x)$.
2Найти область допустимых значений $x$ из физического смысла задачи.
3Найти $f'(x)$, критические точки, определить их характер (через смену знака $f'$ или через $f''$).
4Если критическая точка на промежутке единственная — она сразу даёт наибольшее (или наименьшее) значение на всём промежутке (см. п. 5.8).
Пример: коробка из листа жести
Квадратный лист со стороной $a$. По углам вырезают квадраты со стороной $x$, борта загибают. Объём коробки: $$V(x) = x(a-2x)^2, \quad 0
1$$V'(x) = (a-2x)^2 - 4x(a-2x) = (a-2x)(a-6x).$$
2$V'(x)=0$ при $x=\dfrac{a}{2}$ (граница, не входит) и при $x=\dfrac{a}{6}$ — единственная критическая точка внутри интервала.
3При переходе через $x=\dfrac{a}{6}$ знак $V'$ меняется с «$+$» на «$-$» — это максимум, причём единственный на всём интервале.
4Значит, надо вырезать квадраты со стороной $\dfrac{a}{6}$, и объём коробки будет наибольшим: $$V\!\left(\frac{a}{6}\right) = \frac{2a^3}{27}.$$
⚠️Частая ошибкаЗабывают проверить область допустимых значений переменной — например, в этой задаче $x$ должен быть строго между $0$ и $a/2$ (если вырезать больше половины стороны, борта загибать некуда). Корень производной, не попавший в эту область (здесь $x=a/2$), не рассматривается как кандидат на экстремум.
Запомни
🧠Задачи на максимум и минимум
переводим задачу на язык функции $f(x)$ одной переменной;
учитываем ОДЗ переменной из смысла задачи;
ищем критические точки и определяем их тип через $f'$ или $f''$.