🛤️ИдеяПредставь две рельсы, которые нигде не пересекаются, но чем дальше едешь — тем ближе они друг к другу. График функции может вести себя точно так же: не касаться прямой линии, но неограниченно приближаться к ней при удалении в бесконечность (или при подходе к какой-то запретной точке). Эта прямая — асимптота.
📐ОпределениеПрямая $y=kx+b$ называется асимптотой графика функции $y=f(x)$ при $x \to +\infty$ (или $x\to-\infty$), если расстояние от точки графика до прямой стремится к $0$: $$\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-(kx+b)\bigr)=0.$$ При $k=0$ асимптоту называют горизонтальной, при $k\neq0$ — наклонной.
Коэффициенты находят по формулам $k=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$, $\ b=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-kx\bigr)$.
Вертикальная асимптота
Прямая $x=a$ — вертикальная асимптота, если при приближении $x$ к $a$ (с одной или другой стороны) значение $f(x)$ уходит в $+\infty$ или $-\infty$: $$\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty.$$ Обычно это точка, не входящая в область определения (например, знаменатель обращается в 0).
Дробно-линейная функция
Функция вида $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ (где $c\neq0$, $ad-bc\neq0$) всегда приводится к виду $$y = y_0 + \frac{k}{x-x_0},$$ то есть её график — это гипербола $y=k/x$, сдвинутая на $x_0$ по горизонтали и на $y_0$ по вертикали. Асимптоты — прямые $x=x_0$ (вертикальная) и $y=y_0$ (горизонтальная).
2Это гипербола $y=-1/x$, сдвинутая на $3$ влево и на $2$ вверх. Значит, $y=2$ — горизонтальная асимптота, $x=-3$ — вертикальная.
3Проверка пределами: $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x+5}{x+3}=2$, а при $x\to -3$ функция уходит в $\pm\infty$ (знаменатель $\to0$).
⚠️Частая ошибкаУченики иногда думают, что график не может пересекать свою наклонную/горизонтальную асимптоту. Это неверно — вблизи бесконечности график к ней приближается, но в конечной области вполне может её пересечь. Запрет на пересечение действует только для вертикальной асимптоты (в этой точке функция просто не определена).
Запомни
🧠Асимптоты
наклонная/горизонтальная: $k=\lim f(x)/x$, $b=\lim(f(x)-kx)$ при $x\to\pm\infty$;
вертикальная $x=a$: $f(x)\to\pm\infty$ при $x\to a$;
дробно-линейная функция — всегда гипербола со сдвинутым центром.