11 класс · Функции. Производные. Интегралы
Построение графиков функций с применением производных
ИдеяПолное исследование функции — это как составление карты маршрута перед походом: где подъёмы (рост), где спуски (убывание), где вершины и ямы (экстремумы), где рельеф вогнутый или выпуклый, есть ли "обрывы" (асимптоты). Собрав всё вместе, график строится почти без ошибок — не нужно гадать, что происходит между отдельными точками.
Общая схема исследования
1
Область определения, чётность/нечётность, периодичность.
2
Асимптоты (вертикальные — из точек разрыва; наклонные/горизонтальные — из пределов на бесконечности).
3
Промежутки возрастания/убывания и экстремумы — через знак $f'(x)$.
4
Промежутки выпуклости и точки перегиба — через знак $f''(x)$.
5
Несколько контрольных точек — и график готов.
Пример
Исследуем функцию $f(x) = \dfrac{x^4}{2} - 4x^2 + 1$.
1
Функция определена всюду, $f(-x)=f(x)$ — чётная, график симметричен относительно оси $Oy$. Асимптот нет (многочлен).
2
$$f'(x) = 2x^3 - 8x = 2x(x-2)(x+2).$$ Критические точки: $x=-2,\ 0,\ 2$.
3
Знак $f'$: убывает на $(-\infty;-2]$, растёт на $[-2;0]$, убывает на $[0;2]$, растёт на $[2;+\infty)$. Значит, $x=\pm2$ — точки минимума, $x=0$ — точка максимума.
4
Контрольные значения: $f(0)=1$ (макс.), $f(\pm2)=-7$ (мин.), $f(\pm3)=5{,}5$. Строим правую половину графика при $x\ge0$, затем отражаем относительно оси $Oy$.
Частая ошибкаСтроят график только по нескольким точкам "на глаз", без исследования производной — и пропускают дополнительные экстремумы или неправильно передают направление выпуклости между контрольными точками. Именно производная гарантирует, что между найденными точками график ведёт себя предсказуемо (монотонно и с известной выпуклостью).
Запомни
Полное исследование функции
- область определения → чётность → асимптоты;
- $f'$ → монотонность и экстремумы;
- $f''$ → выпуклость и точки перегиба;
- контрольные точки — и график готов.