🧩ИдеяСинус и косинус трудно вычислить "руками" — а вот многочлен (сложение, умножение, степени) вычислить легко. Формула Тейлора говорит: около нужной точки почти любую "хорошую" функцию можно заменить многочленом, который совпадает с ней и по значению, и по производным нужного порядка. Чем больше слагаемых — тем точнее приближение.
📐Формула ТейлораЕсли $f(x)$ имеет производные до порядка $n$ в окрестности точки $0$, то для $x$ из этой окрестности $$f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1} + R_n,$$ где $R_n = \dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}x^n$ — остаточный член ($c$ где-то между $0$ и $x$).
Если остаток $R_n$ достаточно мал, им можно пренебречь — тогда многочлен без остатка приближённо заменяет функцию.
Пример: разложение $\sin x$
Все производные синуса в нуле по циклу: $f(0)=0$, $f'(0)=1$, $f''(0)=0$, $f'''(0)=-1$, $f^{(4)}(0)=0$, ...
1$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$$
2На $0\le x\le \pi/4$ уже $\sin x \approx x - \dfrac{x^3}{3!}$ даёт точность до $1/400$ — переключай справа число членов и смотри, как быстро красная кривая "прилипает" к синей.
3Похожие ряды есть у $\cos x = 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dots$ и $e^x = 1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dots$ — оба сходятся для любых $x$.
Ряд Тейлора
Если продолжать формулу Тейлора неограниченно, получаем ряд Тейлора. Он сходится к самой функции $f(x)$ тогда и только тогда, когда остаточный член $R_n(x) \to 0$ при $n\to\infty$. Для $\sin x$, $\cos x$, $e^x$ это верно при любом $x$.
⚠️Частая ошибкаФормула Тейлора приближает функцию хорошо только вблизи точки разложения (здесь — вблизи $0$). Чем дальше $x$ от $0$, тем больше остаток $R_n$ и тем больше членов нужно взять для той же точности — приближение "по инерции" далеко от нуля может сильно разойтись с реальным значением.
Запомни
🧠Формула и ряд Тейлора
многочлен из значений функции и её производных в точке $0$ приближает функцию рядом;
$R_n$ — остаток, показывает погрешность приближения;
чем больше членов — тем точнее и на большем промежутке.