↩️ИдеяМы умеем по функции находить её производную. А что если задача обратная: дана "скорость изменения" — надо восстановить саму функцию? Это как по показаниям спидометра восстановить пройденный путь. Такую "обратную к производной" функцию называют первообразной.
📐ОпределениеФункцию $F(x)$ называют первообразной для функции $f(x)$ на интервале $(a;b)$, если на этом интервале $$F'(x) = f(x).$$
Например, для $f(x)=2x$ первообразной является $F(x)=x^2$, потому что $(x^2)'=2x$.
Первообразная не единственна
Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, то и $F(x)+C$ (при любой постоянной $C$) тоже первообразная, ведь $(F(x)+C)'=F'(x)=f(x)$.
1Обратно: если $F$ и $F_1$ — обе первообразные для одной и той же $f(x)$, то их разность имеет производную $0$, значит она постоянна: $F_1(x)=F(x)+C$.
2Итак, все первообразные функции $f(x)$ — это семейство кривых $F(x)+C$, сдвинутых друг относительно друга по вертикали. У всех этих кривых в каждой точке $x$ одинаковый угловой коэффициент касательной, равный $f(x)$.
∫Неопределённый интегралНеопределённым интегралом от $f(x)$ называют совокупность всех её первообразных: $$\int f(x)\,dx = F(x)+C.$$
Основные табличные интегралы: $\displaystyle\int 1\,dx = x+C$, $\ \int x^{n-1}dx = \dfrac{x^n}{n}+C$, $\ \int \cos x\,dx=\sin x + C$, $\ \int \sin x\,dx = -\cos x + C$.
⚠️Частая ошибкаЗабывают дописать константу $+C$ в ответе неопределённого интеграла. Без неё ответ неполный: раз первообразных бесконечно много (весь "пучок" сдвинутых по вертикали кривых), у задачи нет единственного решения без дополнительного условия.
Запомни
🧠Первообразная
$F'(x)=f(x)$ — первообразная восстанавливает функцию по её производной;
все первообразные отличаются на постоянную: $F(x)+C$;