11 класс · Функции. Производные. Интегралы
6.2*. Замена переменной. Интегрирование по частям
ИдеяНе любой интеграл сразу похож на табличный. Но часто его можно "перекроить" — заменить сложное выражение одной новой буквой (замена переменной) или разбить произведение на две части и переложить дифференцирование с одной на другую (интегрирование по частям). Это два основных инструмента, когда таблица интегралов "в лоб" не работает.
Замена переменнойЕсли подынтегральное выражение имеет вид $f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx$, то делаем замену $u=\varphi(x)$, $du=\varphi'(x)dx$: $$\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx = \int f(u)\,du = F(u)+C = F(\varphi(x))+C.$$
Пример: $\displaystyle\int k\cos(kx)\,dx$. Замена $u=kx$, $du=k\,dx$: $$\int \cos u\, du = \sin u + C = \sin(kx)+C.$$
Интегрирование по частямЕсли $u(x)$ и $v(x)$ — функции с производными, то $$\int u\,dv = uv - \int v\,du + C.$$ Работает, когда одна часть произведения легко дифференцируется, а другая легко интегрируется.
Пример: $\int x\sin x\,dx$
1
Выбираем $u=x$ (легко дифференцируется: $du=dx$) и $dv=\sin x\,dx$ (легко интегрируется: $v=-\cos x$).
2
$$\int x\sin x\,dx = x\cdot(-\cos x) - \int(-\cos x)\,dx = -x\cos x + \sin x + C.$$
3
Проверка: продифференцируем ответ. $(-x\cos x+\sin x)' = -\cos x + x\sin x + \cos x = x\sin x$ — совпадает с подынтегральной функцией. Двигай слайдер справа и смотри, как наклон касательной к первообразной $F(x)$ в каждой точке равен значению $x\sin x$.
Частая ошибкаПри интегрировании по частям неверно выбирают, что обозначить за $u$, а что за $dv$. Правило ориентира: за $u$ берут то, что при дифференцировании упрощается (например, многочлен), а за $dv$ — то, что легко интегрируется (синус, косинус, экспонента).
Запомни
Замена и части
- замена $u=\varphi(x)$ сводит интеграл к табличному через $du=\varphi'(x)dx$;
- $\int u\,dv = uv-\int v\,du+C$ — интегрирование по частям;
- за $u$ — то, что упрощается при дифференцировании; за $dv$ — то, что легко интегрируется.