🧱ИдеяПлощадь фигуры с прямыми сторонами (прямоугольник, трапеция) считать легко. А как найти площадь под изогнутой кривой? Идея гениально простая: разрежем область на много узких столбиков, каждый почти прямоугольный, сложим их площади — получим приближение. Чем уже столбики (чем их больше) — тем точнее приближение к истинной площади.
📐ОпределениеПусть $f(x)\ge0$ непрерывна на $[a;b]$. Фигуру, ограниченную графиком $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$, $x=b$, называют криволинейной трапецией.
Как находят площадь
1Разбиваем $[a;b]$ точками $x_0=a
2На каждом кусочке выбираем точку $c_j$ и строим прямоугольник высотой $f(c_j)$. Складываем площади — получаем интегральную сумму: $$S_n = f(c_0)\Delta x_0 + f(c_1)\Delta x_1 + \dots + f(c_{n-1})\Delta x_{n-1}.$$
3Устремляем число прямоугольников $n\to\infty$ так, чтобы каждый $\Delta x_j\to0$. Если $S_n$ стремится к определённому числу $S$, не зависящему от способа разбиения, то $S$ называют площадью криволинейной трапеции.
Знак площади
Если $f(x)\ge0$ на $[a;b]$, трапеция лежит над осью $Ox$, и её площадь равна пределу интегральной суммы. Если $f(x)\le0$, трапеция лежит под осью $Ox$, и площадь равна пределу интегральной суммы, взятому со знаком «минус» (сама сумма отрицательна, а площадь — положительное число).
⚠️Частая ошибкаУченики думают, что прямоугольное приближение всегда даёт площадь больше истинной (или наоборот, всегда меньше). На самом деле это зависит от того, растёт функция или убывает, и от выбора точки $c_j$ внутри отрезка. Только в пределе $n\to\infty$ разница обязательно исчезает — независимо от способа разбиения.
Запомни
🧠Криволинейная трапеция
площадь под кривой — предел суммы площадей узких прямоугольников;
$S_n=\sum f(c_j)\Delta x_j$ — интегральная сумма;
чем больше прямоугольников — тем точнее приближение к точной площади.