💡 Из жизни: представь, что нужно оклеить обоями стену высотой
$h$. Ширина стены — сумма двух частей: основной участок $x$ и небольшой выступ
$y$ рядом с окном. Чтобы найти общую площадь обоев, можно посчитать отдельно
площадь под основной участок ($h\cdot x$) и площадь под выступ ($h\cdot y$), а
потом сложить — а можно сразу умножить высоту на всю ширину: $h(x+y)$. Результат
один и тот же. Именно это равенство — умножение одночлена на многочлен —
мы сейчас докажем и научимся применять в обе стороны.
Мы уже умеем складывать и вычитать многочлены. Следующий шаг — научиться
умножать одночлен на многочлен, а также выполнять обратное действие:
превращать многочлен обратно в произведение, вынося общий множитель за скобки.
Правило умножения одночлена на многочлен
Определение.Произведение одночлена и многочлена
равно многочлену, членами которого являются произведения этого одночлена и
каждого члена данного многочлена.
Например, произведение одночлена $a$ и многочлена $a-b$ равно многочлену
$aa-ab$. Это записывают в виде равенства
$a(a-b)=aa-ab=a^2-ab$.
В последнем равенстве многочлен приведён к стандартному виду.
Справа — площадная схема для этого правила: смотри на вкладку «С разностью».
Вынесение общего множителя за скобки
Равенство $a^2-ab=a(a-b)$, написанное в обратном порядке, тоже верно: здесь
многочлен $a^2-ab$ преобразован в произведение одночлена $a$ и многочлена
$a-b$.
Преобразование многочлена в произведение одночлена и многочлена называют
вынесением за скобки общего множителя многочлена.
Вот ещё пример из учебника: вынесем общий множитель $x^2y$ из многочлена
$x^4y-x^2y^2$. Смотри на вкладку
«Вынесение за скобки» справа —
та же площадная схема, только читаем её в обратную сторону: от двух отдельных
площадей — к одному общему прямоугольнику.
$$x^4y-x^2y^2=x^2y(x^2-y).$$
Пример: умножение на многочлен из трёх членов
Правило работает для многочлена с любым числом членов — одночлен умножается
на каждый из них. Умножим одночлен $3ab$ на многочлен
$a^2-2a+1$.
1
Умножаем одночлен на первый член: $3ab\cdot a^2 = 3a^3b$.
2
Умножаем одночлен на второй член, не забывая его знак: $3ab\cdot(-2a) = -6a^2b$.
3
Умножаем одночлен на третий член: $3ab\cdot 1 = 3ab$.
4
Складываем все три произведения — это и есть искомый многочлен:
$$3ab(a^2-2a+1)=3a^3b-6a^2b+3ab.$$
Противоположные многочлены и умножение на единицу
Многочлен, полученный умножением данного многочлена на число $-1$, называют
противоположным данному. Например, многочлены $ab-2b^3$ и
$-ab+2b^3$ — противоположные.
Сумма противоположных многочленов равна нулю:
$$(ab-2b^3)+(-ab+2b^3)=ab-2b^3-ab+2b^3=0.$$
Отсюда следует важный факт: разность двух многочленов равна сумме
уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.
И ещё одно: если умножить многочлен на $1$, он не изменится. Например,
$1\cdot(a^2+b^3)=1\cdot a^2+1\cdot b^3=a^2+b^3$.
Частая ошибка
⚠️ Частая ошибка: при умножении отрицательного одночлена на
многочлен знак меняют только у первого слагаемого, а остальные оставляют без
изменений. Например, в выражении $-ac(a+2c)$ ошибочно пишут
$-a^2c+2ac^2$ — знак поменяли только у второго произведения, а нужно было
распространить минус одночлена на каждый член многочлена.
Верно: $-ac(a+2c)=-a^2c-2ac^2$.
Запомни
🧠 Чтобы умножить одночлен на многочлен, умножь этот одночлен на
каждый член многочлена и сложи результаты. Обратное действие —
вынесение общего множителя за скобки — превращает многочлен
обратно в произведение. Многочлен, умноженный на $-1$, называют
противоположным; сумма противоположных многочленов равна
нулю. Умножение на $1$ не меняет многочлен.