Алгебра · 11 класс · Глава I · § 6

6.4. Определённый интеграл

🧱 ИдеяПредставь, что площадь под кривой линией нужно измерить, а линейки для кривых не бывает. Тогда её "выкладывают" узкими прямоугольниками — как кирпичиками — и складывают их площади. Чем уже кирпичики, тем точнее сумма повторяет форму фигуры. Если сделать прямоугольники бесконечно узкими, сумма их площадей превращается в точное число — это число и называют определённым интегралом.
📐 ОпределениеПусть функция $y=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;\,b]$. Разобьём отрезок точками на $n$ маленьких частей, в каждой части возьмём точку $c_j$ и составим интегральную сумму $S_n = f(c_0)\Delta x_0 + f(c_1)\Delta x_1 + \ldots + f(c_{n-1})\Delta x_{n-1}$. Предел этой суммы при стремлении длины самого большого кусочка к нулю называют определённым интегралом от $f(x)$ на $[a;\,b]$ и записывают так:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\max\Delta x_j\to 0}\bigl(f(c_0)\Delta x_0+\ldots+f(c_{n-1})\Delta x_{n-1}\bigr)$$

Число $a$ называют нижним пределом, число $b$ — верхним пределом интеграла. Доказано: любая непрерывная на $[a;\,b]$ функция интегрируема на нём, то есть такой предел существует и не зависит от способа разбиения.

Геометрический смысл

1 Если $f(x)\ge 0$ на $[a;\,b]$, то $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y=f(x)$, $y=0$, $x=a$, $x=b$.
2 Если $f(x)\le 0$ на $[a;\,b]$, то интеграл равен площади той же трапеции, взятой со знаком «минус» — график лежит под осью $Ox$, и сумма прямоугольников набирается из отрицательных слагаемых.

Примеры из учебника

Пример 1. Вычислим $\displaystyle\int_{-2}^{0} x\,dx$ по геометрическому смыслу. На $[-2;\,0]$ функция $y=x$ неположительна, её график и ось $Ox$ ограничивают треугольник с катетами $2$ и $2$. Значит,

$$\int_{-2}^{0} x\,dx = -S = -\frac{2\cdot 2}{2} = -2$$

Пример 2. Вычислим $\displaystyle\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}\,dx$. График функции $y=\sqrt{4-x^2}$ — верхняя половина окружности $x^2+y^2=4$ радиуса $2$, значит интеграл равен площади полукруга:

$$\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\pi\cdot 2^2 = 2\pi$$

⚠️ Частая ошибкаИнтеграл — это не сама площадь криволинейной трапеции, а число, которое площади равно только когда $f(x)\ge 0$. Если функция отрицательна на отрезке или меняет знак, нельзя писать "интеграл равен площади" без оговорок — нужно либо разбивать отрезок по нулям функции, либо помнить про знак "минус" для участков ниже оси $Ox$.

Запомни

🧠 Определённый интеграл
  • $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ — предел интегральной суммы $S_n$ при $\max\Delta x_j\to 0$;
  • непрерывная на $[a;\,b]$ функция всегда интегрируема на нём;
  • при $f(x)\ge 0$ интеграл равен площади криволинейной трапеции, при $f(x)\le 0$ — площади со знаком «минус».
§6 · п.6.3 Площадь криволинейной трапеции Все темы §6 · п.6.5* Приближённое вычисление интеграла
Интегральная сумма $S_n$ приближается к площади под графиком $y=\tfrac12 x^2+1$ на $[0;\,3]$
n