🧵ИдеяТочный интеграл — это предел, который на практике вычислить как сумму бесконечно узких прямоугольников нельзя. Зато можно взять снизу прямоугольники чуть-чуть меньше истинной площади и сверху — чуть-чуть больше. Тогда искомое число окажется зажато между ними — как в тисках, — и его можно оценить средним арифметическим двух оценок. Это и есть метод трапеций.
📐ОпределениеПусть $f(x)$ непрерывна, неотрицательна и возрастает на $[a;\,b]$. Разобьём отрезок точками $a=x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_n=b$ на $n$ равных частей длины $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ и составим две суммы:
$$\underline{S}_n = \bigl(f(x_0)+f(x_1)+\ldots+f(x_{n-1})\bigr)\Delta x \quad\text{— нижняя сумма}$$
$$\overline{S}_n = \bigl(f(x_1)+f(x_2)+\ldots+f(x_n)\bigr)\Delta x \quad\text{— верхняя сумма}$$
Так как $f(x)$ возрастает, на каждом кусочке $[x_j;\,x_{j+1}]$ наименьшее значение достигается в $x_j$, наибольшее — в $x_{j+1}$. Значит истинная площадь $S$ и равный ей интеграл зажаты между суммами: $\underline{S}_n < I < \overline{S}_n$, и приближённо
1На каждом частичном отрезке $[x_j;\,x_{j+1}]$ криволинейный кусок под графиком заменяют прямолинейной трапецией с основаниями $f(x_j)$ и $f(x_{j+1})$: её площадь $\dfrac{f(x_j)+f(x_{j+1})}{2}\Delta x$ — это и есть приближение к истинному кусочку площади.
2Складывая такие трапеции по всем $n$ отрезкам, получают формулу $I \approx \left(f(x_1)+\ldots+f(x_{n-1})+\dfrac{f(x_0)+f(x_n)}{2}\right)\Delta x$ — она равносильна среднему из нижней и верхней сумм.
3Для неположительной функции суммы $\underline{S}_n,\overline{S}_n$ отрицательны, но оценка $I\approx\dfrac{\underline{S}_n+\overline{S}_n}{2}$ работает так же — только площадь трапеции равна $-I$.
Пример из учебника
Вычислим приближённо $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$, разбив $[0;\,1]$ на $n=10$ частей по $\Delta x=0{,}1$:
Тогда $I \approx \dfrac{0{,}285+0{,}385}{2} = 0{,}335$ — точное значение равно $\tfrac13\approx 0{,}333$, ошибка меньше $0{,}5\%$.
⚠️Частая ошибкаНижняя сумма считается по левым точкам, а верхняя — по правым только когда функция возрастает. Если функция убывает — наоборот: наибольшее значение на кусочке достигается слева, наименьшее справа. Всегда проверяй, где именно на отрезке функция больше, а не механически бери "левое = нижнее".
Запомни
🧠Приближённое вычисление интеграла
$\underline{S}_n < I < \overline{S}_n$ — точный интеграл зажат между нижней и верхней суммами;
метод трапеций: $I \approx \dfrac{\underline{S}_n+\overline{S}_n}{2}$;
чем больше $n$, тем меньше разность $\overline{S}_n-\underline{S}_n$ и точнее оценка.