🌉
ИдеяДо сих пор интеграл считали как предел суммы бесконечно узких прямоугольников — работа медленная и неточная. Формула Ньютона—Лейбница строит мост между интегралом и производной: чтобы найти площадь под кривой, достаточно один раз найти первообразную $F(x)$ и вычислить всего два числа — её значения на концах отрезка.
📐
Теорема Ньютона — ЛейбницаПусть функция $f(x)$ непрерывна на $[a;\,b]$, а $F(x)$ — какая-либо её первообразная. Тогда
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$
Разность справа коротко записывают как $F(x)\Big|_a^b$, поэтому формулу часто пишут в виде $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = F(b)-F(a)$.
Идея доказательства
1
Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом $\Phi(u)=\displaystyle\int_a^u f(x)\,dx$ — это площадь под графиком от $a$ до $u$, то есть функция от $u$.
2
Приращение $\Phi(u+h)-\Phi(u)$ — это площадь узкой полоски шириной $h$, зажатая между $mh$ и $Mh$ ($m$, $M$ — наименьшее и наибольшее значения $f$ на $[u;\,u+h]$). При $h\to 0$ оба значения стремятся к $f(u)$.
3
Значит $\Phi'(u)=f(u)$ — функция $\Phi$ сама первообразная для $f$. Любая другая первообразная $F$ отличается от неё на константу: $F(x)=\Phi(x)+C$.
4
Из $\Phi(a)=0$ находим $C=F(a)$, а тогда $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\Phi(b)=F(b)-F(a)$ — то, что требовалось доказать.
Примеры
$$\int_0^2 x^2\,dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2 = \frac{2^3}{3}-\frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}$$
$$\int_0^{\pi}\sin x\,dx = \bigl(-\cos x\bigr)\Big|_0^{\pi} = -\cos\pi-(-\cos 0)=1+1=2$$
А на $[-\pi;\,0]$, где синус отрицателен, интеграл получается отрицательным: $\displaystyle\int_{-\pi}^{0}\sin x\,dx = -2$. Знак результата напрямую связан со знаком функции на отрезке — это и есть геометрический смысл интеграла.
Площадь фигуры между параболой и прямой. Найдём площадь фигуры между $y=x^2$ и $y=x+2$. Решив $x^2=x+2$, получаем точки пересечения $x=-1$ и $x=2$. Площадь трапеции под прямой $ABCD$ равна $7{,}5$, площадь под параболой $\displaystyle\int_{-1}^{2}x^2\,dx=3$. Значит искомая площадь $S=7{,}5-3=4{,}5$ (кв. ед.).
⚠️
Частая ошибкаПри подстановке пределов часто теряют скобки вокруг $F(a)$, если оно само содержит знак минус: нужно $F(b)-\bigl(F(a)\bigr)$, а не $F(b)-F(a)$ без скобок — иначе минус не распространяется на все слагаемые внутри $F(a)$. Пример: $(-\cos\pi)-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=1+1=2$ — если забыть вторую скобку, легко получить неверный ответ $-\cos\pi-\cos 0=1-1=0$.
Запомни
🧠
Формула Ньютона — Лейбница
- $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$, где $F$ — любая первообразная $f$;
- $\Phi(u)=\displaystyle\int_a^u f(x)\,dx$ как функция от $u$ имеет производную $\Phi'(u)=f(u)$;
- всегда бери $F(a)$ в скобки при вычитании: $F(b)-\bigl(F(a)\bigr)$, а не $F(b)-F(a)$ без скобок — иначе легко потерять знак у слагаемых внутри $F(a)$.