Алгебра · 11 класс · Глава I · § 6

6.6. Формула Ньютона — Лейбница

🌉 ИдеяДо сих пор интеграл считали как предел суммы бесконечно узких прямоугольников — работа медленная и неточная. Формула Ньютона—Лейбница строит мост между интегралом и производной: чтобы найти площадь под кривой, достаточно один раз найти первообразную $F(x)$ и вычислить всего два числа — её значения на концах отрезка.
📐 Теорема Ньютона — ЛейбницаПусть функция $f(x)$ непрерывна на $[a;\,b]$, а $F(x)$ — какая-либо её первообразная. Тогда

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$

Разность справа коротко записывают как $F(x)\Big|_a^b$, поэтому формулу часто пишут в виде $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = F(b)-F(a)$.

Идея доказательства

1 Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом $\Phi(u)=\displaystyle\int_a^u f(x)\,dx$ — это площадь под графиком от $a$ до $u$, то есть функция от $u$.
2 Приращение $\Phi(u+h)-\Phi(u)$ — это площадь узкой полоски шириной $h$, зажатая между $mh$ и $Mh$ ($m$, $M$ — наименьшее и наибольшее значения $f$ на $[u;\,u+h]$). При $h\to 0$ оба значения стремятся к $f(u)$.
3 Значит $\Phi'(u)=f(u)$ — функция $\Phi$ сама первообразная для $f$. Любая другая первообразная $F$ отличается от неё на константу: $F(x)=\Phi(x)+C$.
4 Из $\Phi(a)=0$ находим $C=F(a)$, а тогда $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\Phi(b)=F(b)-F(a)$ — то, что требовалось доказать.

Примеры из учебника

$$\int_0^2 x^2\,dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2 = \frac{2^3}{3}-\frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}$$

$$\int_0^{\pi}\sin x\,dx = \bigl(-\cos x\bigr)\Big|_0^{\pi} = -\cos\pi-(-\cos 0)=1+1=2$$

А на $[-\pi;\,0]$, где синус отрицателен, интеграл получается отрицательным: $\displaystyle\int_{-\pi}^{0}\sin x\,dx = -2$. Знак результата напрямую связан со знаком функции на отрезке — это и есть геометрический смысл интеграла.

Площадь фигуры между параболой и прямой. Найдём площадь фигуры между $y=x^2$ и $y=x+2$. Решив $x^2=x+2$, получаем точки пересечения $x=-1$ и $x=2$. Площадь трапеции под прямой $ABCD$ равна $7{,}5$, площадь под параболой $\displaystyle\int_{-1}^{2}x^2\,dx=3$. Значит искомая площадь $S=7{,}5-3=4{,}5$ (кв. ед.).

⚠️ Частая ошибкаПри подстановке пределов часто теряют скобки: $F(b)-F(a)$, а не $F(b)-F(a)$ по частям без скобок, из-за чего "минус" не распространяется на все слагаемые $F(a)$. Пример: $(-\cos\pi)-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=1+1=2$ — если забыть вторую скобку, легко получить неверный ответ $-\cos\pi-\cos 0=1-1=0$.

Запомни

🧠 Формула Ньютона — Лейбница
  • $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$, где $F$ — любая первообразная $f$;
  • $\Phi(u)=\displaystyle\int_a^u f(x)\,dx$ как функция от $u$ имеет производную $\Phi'(u)=f(u)$;
  • всегда подставляй пределы в скобках: $F(b)-F(a)$, а не забывай знак у второго слагаемого.
§6 · п.6.5* Приближённое вычисление интеграла Все темы §6 · п.6.7 Свойства определённого интеграла
$\Phi(u)=\int_0^u x^2\,dx$ — площадь растёт вместе с $u$, точно как $F(u)=\tfrac{u^3}{3}$
u