🧩ИдеяПлощадь длинного участка можно "разрезать" на два коротких и сложить — так же работает и интеграл. Если ты разбиваешь дорогу от точки $a$ до точки $b$ промежуточной остановкой $c$, весь путь равен сумме двух кусков. На нашей визуализации левая и правая части фигуры в сумме дают ту же площадь, что и вся фигура целиком.
📐Три основных свойстваДля непрерывных на нужных отрезках функций $f(x)$, $\varphi(x)$ и постоянной $A$:
Свойства (2) и (3) вместе дают линейность: $\displaystyle\int_a^b \bigl(Af(x)+B\varphi(x)\bigr)dx = A\int_a^b f(x)\,dx + B\int_a^b \varphi(x)\,dx$.
Площадь между двумя графиками
1Если на $(a;\,b)$ выполнено $f(x)>\varphi(x)$, а графики пересекаются в точках с абсциссами $a$ и $b$, то площадь фигуры между ними находят по формуле $S=\displaystyle\int_a^b\bigl(f(x)-\varphi(x)\bigr)dx$ — это прямое следствие свойств (2) и (3).
2Формула работает, даже если сами функции принимают отрицательные значения на $[a;\,b]$ — важна лишь разность $f(x)-\varphi(x)$, а не знаки самих $f$ и $\varphi$.
Пример из учебника
Найдём площадь между графиками $y=-x^2+2$ и $y=x^2-2x-2$. Решив уравнение $-x^2+2=x^2-2x-2$, получаем точки пересечения $x=-1$ и $x=2$, причём первая парабола выше второй на всём $(-1;\,2)$. Значит:
Замена переменной. Ещё одно полезное свойство: $\displaystyle\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du$. Например, $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx$ заменой $u=2x$ сводится к $\tfrac12\displaystyle\int_0^{\pi}\sin u\,du = 1$.
⚠️Частая ошибкаФормулу площади между графиками $S=\displaystyle\int_a^b(f(x)-\varphi(x))\,dx$ применяют не проверив, какая из функций больше на промежутке. Если перепутать порядок ($\varphi-f$ вместо $f-\varphi$), получится тот же результат по модулю, но с неверным знаком — а формально нужно писать разность "верхняя минус нижняя".
Запомни
🧠Свойства определённого интеграла
аддитивность: $\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$ при любом $c$ (не только между $a$ и $b$);