11 класс · Функции. Производные. Интегралы

Свойства определённого интеграла

🧩 ИдеяПлощадь длинного участка можно "разрезать" на два коротких и сложить — так же работает и интеграл. Если ты разбиваешь дорогу от точки $a$ до точки $b$ промежуточной остановкой $c$, весь путь равен сумме двух кусков. На нашей визуализации левая и правая части фигуры в сумме дают ту же площадь, что и вся фигура целиком.
📐 Три основных свойстваДля непрерывных на нужных отрезках функций $f(x)$, $\varphi(x)$ и постоянной $A$:

$$\text{(1) аддитивность: }\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$$

$$\text{(2) вынесение множителя: }\int_a^b A\cdot f(x)\,dx = A\int_a^b f(x)\,dx$$

$$\text{(3) интеграл суммы: }\int_a^b \bigl(f(x)+\varphi(x)\bigr)dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b \varphi(x)\,dx$$

Свойства (2) и (3) вместе дают линейность: $\displaystyle\int_a^b \bigl(Af(x)+B\varphi(x)\bigr)dx = A\int_a^b f(x)\,dx + B\int_a^b \varphi(x)\,dx$.

Площадь между двумя графиками

1 Если на $(a;\,b)$ выполнено $f(x)>\varphi(x)$, а графики пересекаются в точках с абсциссами $a$ и $b$, то площадь фигуры между ними находят по формуле $S=\displaystyle\int_a^b\bigl(f(x)-\varphi(x)\bigr)dx$ — это прямое следствие свойств (2) и (3).
2 Формула работает, даже если сами функции принимают отрицательные значения на $[a;\,b]$ — важна лишь разность $f(x)-\varphi(x)$, а не знаки самих $f$ и $\varphi$.

Пример

Найдём площадь между графиками $y=-x^2+2$ и $y=x^2-2x-2$. Решив уравнение $-x^2+2=x^2-2x-2$, получаем точки пересечения $x=-1$ и $x=2$, причём первая парабола выше второй на всём $(-1;\,2)$. Значит:

$$S=\int_{-1}^{2}\bigl((-x^2+2)-(x^2-2x-2)\bigr)dx = \int_{-1}^{2}(-2x^2+2x+4)\,dx$$

$$S = \left.\left(-\frac{2x^3}{3}+x^2+4x\right)\right|_{-1}^{2} = 9 \text{ (кв. ед.)}$$

Замена переменной. Ещё одно полезное свойство: $\displaystyle\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du$. Например, $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx$ заменой $u=2x$ сводится к $\tfrac12\displaystyle\int_0^{\pi}\sin u\,du = 1$.

⚠️ Частая ошибкаФормулу площади между графиками $S=\displaystyle\int_a^b(f(x)-\varphi(x))\,dx$ применяют не проверив, какая из функций больше на промежутке. Если перепутать порядок ($\varphi-f$ вместо $f-\varphi$), получится тот же результат по модулю, но с неверным знаком — а формально нужно писать разность "верхняя минус нижняя".

Запомни

🧠 Свойства определённого интеграла
  • аддитивность: $\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$ при любом $c$ (не только между $a$ и $b$);
  • линейность: $\int_a^b(Af+B\varphi)=A\int_a^bf+B\int_a^b\varphi$;
  • площадь между графиками — интеграл от разности "верхняя функция минус нижняя".

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике