11 класс · Функции. Производные. Интегралы

6.8*. Применение определённых интегралов в геометрических и физических задачах

🥎 ИдеяШар можно "нарезать" на тонкие круглые монетки — диски переменного радиуса — и сложить их объёмы, как раньше складывали площади прямоугольников. Тонкий диск на расстоянии $x$ от центра имеет радиус $f(x)$ и объём $\pi f(x)^2\,dx$. Сумма всех дисков в пределе даёт точный объём — интеграл вместо "площади под кривой" считает "объём тела вращения".
📐 Объём тела вращенияПусть $y=f(x)$ непрерывна и положительна на $[a;\,b]$. Если вращать её график вокруг оси $Ox$, получится тело, объём которого

$$V = \pi\int_a^b \bigl(f(x)\bigr)^2\,dx$$

Идея вывода та же, что и для площади: тело разбивают на тонкие "цилиндрики" высотой $\Delta x_k$ и радиусом $f(x_k)$, объём каждого приближённо $\pi f(x_k)^2\Delta x_k$, а сумма при $\max\Delta x_k\to 0$ переходит в интеграл.

Пример: объём шара

1 Верхняя полуокружность $y=\sqrt{R^2-x^2}$ на $[-R;\,R]$ при вращении вокруг оси $Ox$ образует сферу — значит по формуле (1) её объём
2 $$V = \pi\int_{-R}^{R}\bigl(\sqrt{R^2-x^2}\bigr)^2 dx = \pi\int_{-R}^{R}(R^2-x^2)\,dx = \pi\left.\left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)\right|_{-R}^{R} = \frac{4}{3}\pi R^3$$

Физические примеры

Работа переменной силы. Если сила $F=f(x)$ действует вдоль прямой при движении от $a$ до $b$, то работа $W=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ — сумма произведений "сила × малое перемещение".

Масса стержня переменной плотности. Если плотность стержня $[a;\,b]$ меняется по закону $\rho(x)$, то масса $M=\displaystyle\int_a^b \rho(x)\,dx$.

Давление жидкости на стенку. Для бассейна высотой $H$ со стенкой основания $a$ давление воды $P=a\displaystyle\int_0^H h\,dh=\dfrac{aH^2}{2}$ — давление растёт с глубиной $h$ линейно, поэтому суммарное давление на всю стенку выражается интегралом от $h$.

Похожим образом через интегралы находят работу электрического заряда и координаты центра тяжести плоской фигуры — во всех случаях идея одна: разбить, приблизить суммой, перейти к пределу.

⚠️ Частая ошибкаВ формуле объёма тела вращения интегрируют не саму функцию $f(x)$, а её квадрат: $V=\pi\displaystyle\int_a^b f(x)^2\,dx$, а не $\pi\left(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\right)^2$. Площадь под кривой и объём тела вращения — разные вещи, их формулы нельзя путать.

Запомни

🧠 Применение интеграла
  • объём тела вращения: $V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx$;
  • работа переменной силы: $W=\int_a^b f(x)\,dx$;
  • масса стержня: $M=\int_a^b \rho(x)\,dx$;
  • объём шара радиуса $R$: $\tfrac43\pi R^3$ — прямое следствие формулы (1).

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике