🚗ИдеяОбычное уравнение ищет число (например, $x^2=4$, значит $x=\pm2$). А дифференциальное уравнение ищет целую функцию: например "скорость машины в момент $x$ равна $2x$" — это уравнение $y'=2x$ относительно закона движения $y(x)$. У него не одно решение, а целое семейство парабол $y=x^2+C$ — все они "едут" с одинаковой скоростью, просто стартуют из разных точек.
📐ОпределениеДифференциальным уравнением называют уравнение, в которое входит неизвестная функция $y=y(x)$ и её производные. Порядок уравнения — это наивысший порядок входящей в него производной. Решением называют любую функцию $y(x)$, обращающую уравнение в тождество.
Например, $y+16y'-x^5=0$ — уравнение первого порядка (входит только $y'$), а $3x^2=y''-y'$ — уравнение второго порядка (входит $y''$).
Простейший случай: $y'=\varphi(x)$
1Если $\varphi(x)$ непрерывна, решением уравнения $y'=\varphi(x)$ служит любая первообразная: $y=\displaystyle\int\varphi(x)\,dx = F(x)+C$ — это общее решение, зависящее от произвольной постоянной $C$.
2Задавая $C$ конкретное число, получаем частное решение. Например, для $y'=2x$ общее решение $y=x^2+C$, а частные — $y=x^2$, $y=x^2+14$, $y=x^2-200$ и т. д.
3Чтобы выбрать одно частное решение из семейства, задают дополнительное условие — например, что график проходит через конкретную точку. Для $y'=2x$ с условием "график проходит через $(0;0)$" получаем $C=0$, то есть $y=x^2$.
4Для уравнения второго порядка $y''=6x$ интегрируют дважды: сначала $y'=3x^2+C_1$, затем $y=x^3+C_1x+C_2$ — общее решение содержит уже две произвольные постоянные.
Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение вида $y'\varphi(y)=f(x)$ решают, "разделяя" переменные: записывают его как $\varphi(y)\,dy = f(x)\,dx$ и интегрируют обе части отдельно: $\displaystyle\int\varphi(y)\,dy = \int f(x)\,dx + C$.
Пример. Решим $y'y^2=x(1+x^2)$ с условием $y(0)=2$. Разделяя переменные: $\displaystyle\int y^2\,dy=\int x(1+x^2)\,dx+C$, откуда $\dfrac{y^3}{3}=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{4}+C$. Подставив $x=0,\,y=2$, находим $C=\tfrac83$, значит частное решение $y=\sqrt[3]{\tfrac{3x^2}{2}+\tfrac{3x^4}{4}+8}$.
Похожим образом решаются важные уравнения $y'=\alpha y$ (решение $y=Ce^{\alpha x}$ — экспоненциальный рост/распад) и $y''+k^2y=0$ (решение $y=A\sin kt+B\cos kt$ — колебания).
⚠️Частая ошибкаПосле нахождения общего решения ученики забывают добавить постоянную $C$ — например, пишут $y=x^2$ вместо $y=x^2+C$, теряя бесконечно много решений сразу. Постоянную можно найти только если дано дополнительное условие (точка на графике, значение $y$ при конкретном $x$).
Запомни
🧠Дифференциальное уравнение
порядок уравнения = наивысший порядок входящей производной;
$y'=\varphi(x) \;\Rightarrow\; y=\int\varphi(x)\,dx=F(x)+C$ — общее решение с одной постоянной;
уравнение второго порядка $y''=\varphi(x)$ даёт общее решение с двумя постоянными;
частное решение находят, подставив дополнительное условие в общее.