6.10*. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
🫖ИдеяОстывающий самовар, распадающееся радиоактивное вещество, качающийся груз на пружине — все они описываются одним и тем же математическим приёмом: скорость изменения величины зависит от самой величины, и мы находим закон изменения, решив дифференциальное уравнение.
Движение тела по скорости и ускорению
1Если скорость $v=f(t)$ задана, закон движения $x=F(t)$ находят как первообразную: $F'(t)=f(t)\Rightarrow F(t)=\displaystyle\int f(t)\,dt+C$. Постоянную $C$ находят из начального положения.
2Пример. Скорость $v=3t^2-2t$, $x(0)=2$. Тогда $x=\displaystyle\int(3t^2-2t)dt=t^3-t^2+C$, при $t=0$ получаем $C=2$, итог $x=t^3-t^2+2$.
3Для равноускоренного движения $F''(t)=a$ первообразную берут дважды: $F'(t)=at+b$, затем $x=F(t)=\dfrac{at^2}{2}+bt+C$ — общий закон содержит уже две постоянные.
Охлаждение и радиоактивный распад
🌡️Закон охлажденияСкорость охлаждения $\dfrac{dT}{dt}$ пропорциональна разности температур тела и среды: $\dfrac{dT}{dt}=-k(T-T_1)$. Решение этого уравнения — экспонента, убывающая к температуре среды:
$$T(t) = T_1 + (T_0-T_1)e^{-kt}$$
Пример. Кипящий самовар ($T_0=100°$) остыл за 10 мин до $60°$ на воздухе при $T_1=20°$. Из условий $T(0)=100$, $T(10)=60$ находят $A=80$ и $e^{-k}=(0{,}5)^{0{,}1}$. Решая $25=20+80\cdot(0{,}5)^{0{,}1t}$, получают $t=40$ мин — именно за это время самовар остынет до $25°$.
Радиоактивный распад описывается той же формой: $\dfrac{dm}{dt}=-km \Rightarrow m(t)=m_0e^{-kt}$ — скорость распада пропорциональна оставшейся массе.
Гармонические колебания
Груз на пружине по закону Ньютона и закону Гука подчиняется уравнению $x''+k^2x=0$, решение которого $x(t)=A\sin kt+B\cos kt$, или в другой форме $x(t)=C\cos(kt-\alpha)$, где:
$C=\sqrt{A^2+B^2}$ — амплитуда (наибольшее отклонение), $k$ — частота, период колебаний равен $\tfrac{2\pi}{k}$, а $\alpha$ — фаза колебаний.
⚠️Частая ошибкаВ законе равноускоренного движения $x=\dfrac{at^2}{2}+bt+C$ путают роли постоянных: $b$ — это начальная скорость (значение $x'(0)$), а $C$ — начальная координата ($x(0)$). Их нельзя перепутать местами — каждая находится из своего условия.
Запомни
🧠Дифференциальные уравнения в задачах
движение по скорости: $x=\int v(t)\,dt+C$; по ускорению — интегрируют дважды;