11 класс · Уравнения. Неравенства. Системы
Равносильные преобразования уравнений
ИдеяДва уравнения равносильны, если у них одинаковый набор корней — как два разных ключа, открывающих одну и ту же дверь. Совершенно неважно, насколько разными выглядят сами уравнения: если множества решений $A$ и $B$ совпадают — уравнения равносильны.
ОпределениеУравнения $f(x)=g(x)$ и $\varphi(x)=\psi(x)$ называют равносильными, если любой корень первого — корень второго, и наоборот, то есть множества корней этих уравнений совпадают. В частности, уравнения равносильны, если у обоих корней нет вовсе.
Например, $x^3-1=0$ и $x^5-1=0$ равносильны (у обоих единственный корень $1$), а $x^3-1=0$ и $x^2-1=0$ — нет: у второго два корня ($1$ и $-1$), у первого один.
Основные равносильные преобразования
1
Перенос члена уравнения в другую часть с противоположным знаком.
2
Умножение (деление) обеих частей на число, отличное от нуля.
3
Применение тождеств — равенств, верных при всех $x$.
4
Возведение в нечётную степень: $f(x)=g(x) \Leftrightarrow f^{2m+1}(x)=g^{2m+1}(x)$.
5
Извлечение корня нечётной степени из обеих частей.
6
Логарифмирование показательного уравнения: $a^{f(x)}=a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)=g(x)$ при $a>0,\,a\ne1$.
Примеры
$$\sqrt[3]{12x^2-28x+8}=2-x \;\Leftrightarrow\; 12x^2-28x+8=(2-x)^3 \;\Rightarrow\; x\in\{-8;\,0;\,2\}$$
$$(x-5)^{11}=(2x+4)^{11} \;\Leftrightarrow\; x-5=2x+4 \;\Rightarrow\; x=-9$$
$$5^{x^2-2x}=5^{x-2} \;\Leftrightarrow\; x^2-2x=x-2 \;\Rightarrow\; x\in\{1;\,2\}$$
Часто применяют несколько преобразований подряд: сначала свернуть степени по тождествам ($2\cdot2^x-8^x=0 \Rightarrow 2^{x+1}=2^{3x}$), затем прологарифмировать — получая всё более простое равносильное уравнение.
Частая ошибкаВозведение в чётную степень (в отличие от нечётной) уравнения не гарантирует равносильности — могут появиться посторонние корни. Правило "равносильно" из этого пункта работает только для нечётных степеней и корней нечётной степени; для чётных нужна отдельная проверка.
Запомни
Равносильные преобразования уравнений
- равносильны — значит совпадают множества корней (в том числе оба пусты);
- перенос члена, умножение на число $\ne0$, тождества — всегда равносильные преобразования;
- возведение/извлечение корня нечётной степени и логарифмирование — тоже равносильны;
- чётная степень — не входит в этот список, там нужна проверка корней.