🔑ИдеяДва уравнения равносильны, если у них одинаковый набор корней — как два разных ключа, открывающих одну и ту же дверь. Совершенно неважно, насколько разными выглядят сами уравнения: если множества решений $A$ и $B$ совпадают — уравнения равносильны.
📐ОпределениеУравнения $f(x)=g(x)$ и $\varphi(x)=\psi(x)$ называют равносильными, если любой корень первого — корень второго, и наоборот, то есть множества корней этих уравнений совпадают. В частности, уравнения равносильны, если у обоих корней нет вовсе.
Например, $x^3-1=0$ и $x^5-1=0$ равносильны (у обоих единственный корень $1$), а $x^3-1=0$ и $x^2-1=0$ — нет: у второго два корня ($1$ и $-1$), у первого один.
Основные равносильные преобразования
1Перенос члена уравнения в другую часть с противоположным знаком.
2Умножение (деление) обеих частей на число, отличное от нуля.
3Применение тождеств — равенств, верных при всех $x$.
4Возведение в нечётную степень: $f(x)=g(x) \Leftrightarrow f^{2m+1}(x)=g^{2m+1}(x)$.
5Извлечение корня нечётной степени из обеих частей.
6Логарифмирование показательного уравнения: $a^{f(x)}=a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)=g(x)$ при $a>0,\,a\ne1$.
Часто применяют несколько преобразований подряд: сначала свернуть степени по тождествам ($2\cdot2^x-8^x=0 \Rightarrow 2^{x+1}=2^{3x}$), затем прологарифмировать — получая всё более простое равносильное уравнение.
⚠️Частая ошибкаВозведение в чётную степень (в отличие от нечётной) уравнения не гарантирует равносильности — могут появиться посторонние корни. Правило "равносильно" из этого пункта работает только для нечётных степеней и корней нечётной степени; для чётных нужна отдельная проверка (следующий пункт учебника).
Запомни
🧠Равносильные преобразования уравнений
равносильны — значит совпадают множества корней (в том числе оба пусты);
перенос члена, умножение на число $\ne0$, тождества — всегда равносильные преобразования;
возведение/извлечение корня нечётной степени и логарифмирование — тоже равносильны;
чётная степень — не входит в этот список, там нужна проверка корней.