💡 Из жизни: представь прямоугольный участок земли. Его длину
разбили забором на два куска — $a$ и $b$, а ширину другим забором тоже на два
куска — $a$ и $b$ (но с другой стороны один из кусков как бы «отрезают», а не
добавляют). Тогда весь участок делится на 4 маленьких прямоугольника, и площадь
каждого — это произведение одного куска длины на один кусок ширины. Сложив
площади всех четырёх кусков, получим ту же площадь, что если бы мы сразу
перемножили полную длину $(a+b)$ на полную ширину $(a-b)$. Это и есть суть
умножения многочлена на многочлен.
Мы уже умеем умножать одночлен на многочлен: одночлен умножается на
каждый член многочлена. Теперь пойдём дальше — научимся
умножать многочлен на многочлен, где у обоих сомножителей несколько членов.
Правило умножения многочленов
Определение.Произведение двух многочленов
равно многочлену, членами которого являются произведения
каждого члена одного многочлена и каждого члена другого многочлена.
Иначе говоря: чтобы найти произведение многочленов, нужно каждый член одного
многочлена умножить на каждый член другого и полученные одночлены сложить.
Если в первом многочлене 2 члена, а во втором тоже 2, то всего получится
$2\cdot 2=4$ произведения — как раз столько, сколько маленьких прямоугольников
в площадной модели справа (вкладка «(x+2)(x+3)»).
Произведение двух многочленов не зависит от порядка множителей:
$(a+b)(a-b)$ и $(a-b)(a+b)$ дают одинаковый результат.
Пример из учебника: $(a+b)(a-b)$
Пользуясь правилом, найдём произведение многочленов $a+b$ и $a-b$
(смотри вкладку «(a+b)(a−b)» справа).
1
Умножаем $a$ (первый член первого многочлена) на оба члена второго:
$a\cdot a=a^2$ и $a\cdot(-b)=-ab$.
2
Умножаем $b$ (второй член первого многочлена) на оба члена второго:
$b\cdot a=ab$ и $b\cdot(-b)=-b^2$.
3
Складываем все четыре произведения: $a^2-ab+ab-b^2$.
4
Слагаемые $-ab$ и $ab$ — противоположные, они уничтожаются. Получаем:
$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2.$$
Умножение нескольких многочленов
Если нужно перемножить не два, а несколько многочленов, действуют по шагам:
сначала находят произведение любых двух из них, затем полученный многочлен
умножают на третий, и так далее. Порядок, в котором берут множители, не важен —
результат будет одним и тем же. Например, в учебнике приведено произведение
трёх многочленов:
$$(a-b)(2a+b)(3a-2b)=6a^3-7a^2b-ab^2+2b^3.$$
💡 Замечание: если многочлены записаны не в стандартном виде,
сначала полезно привести каждый к стандартному виду — вычисления, как правило,
заметно сократятся.
Разложение многочлена на множители
Разложением многочлена на множители называют его
преобразование в произведение двух или нескольких многочленов.
Равенство $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, записанное в обратном порядке —
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ — как раз и есть пример такого разложения: многочлен
$a^2-b^2$ мы представили в виде произведения двух многочленов.
Любой многочлен можно разложить на два множителя, один из которых — не равное
нулю число. Например: $x^2+y^2=3\left(\tfrac13 x^2+\tfrac13 y^2\right)$. Но
гораздо интереснее разложения, где каждый множитель имеет степень больше нуля —
с ними мы подробно познакомимся дальше, изучая формулы сокращённого умножения.
Частая ошибка
⚠️ Частая ошибка: при умножении двух двучленов перемножают
только «крайние» и «средние» пары членов, забывая про остальные два
произведения. Например, произведение $(x+2)(x+3)$ иногда ошибочно записывают
как $x^2+6$ — перемножили только первые члены ($x\cdot x$) и только вторые
($2\cdot 3$), а произведения $x\cdot 3$ и $2\cdot x$ «потеряли». На самом деле
нужно перемножить все четыре пары:
$$(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6.$$
Запомни
🧠 Чтобы перемножить два многочлена, умножь каждый член
первого на каждый член второго и сложи все полученные
произведения. Если в многочленах по 2 члена — получится 4 произведения. Порядок
множителей не важен. Обратное действие — разложение многочлена на
множители — превращает многочлен обратно в произведение.