11 класс · Уравнения. Неравенства. Системы
Другие преобразования, приводящие к уравнению-следствию
ИдеяНе только чётная степень и логарифм умеют "терять" информацию. Ещё три частых источника посторонних корней: сокращение одинаковых слагаемых, освобождение от знаменателя и подмена формулой, у которой левая и правая часть определены на разных множествах.
Правило 1 — приведение подобныхСледствием уравнения $f(x)+\varphi(x)-\varphi(x)=0$ является уравнение $f(x)=0$. Слагаемое $\varphi(x)$ сокращается формально, но область его определения из уравнения исчезает.
Правило 2 — освобождение от знаменателяСледствием уравнения $\dfrac{f(x)}{g(x)}=0$ является уравнение $f(x)=0$. При этом теряется условие $g(x)\ne0$ — именно из-за этого могут появиться посторонние корни, обнуляющие знаменатель.
Правило 3 — применение формул
Пусть формула верна там, где левая часть определена на множестве $M_1$, а правая — на множестве $M_2$, причём $M_1$ является подмножеством $M_2$ (короче: $M_1\subset M_2$). Если заменить в уравнении левую часть на правую — получится уравнение-следствие, ведь область определения расширяется с $M_1$ до $M_2$.
Например, формула $\dfrac{2\operatorname{tg}x}{1+\operatorname{tg}^2x}=\sin2x$: слева нужно $\cos x\ne0$, справа годится любой $x$ — значит, замена даёт следствие, а не равносильное уравнение.
Пример с разбором
Решим уравнение $3^{\log_3(x^2-4x+3)}=2x-5$.
1
Применяем формулу $3^{\log_3 t}=t$ (её левая часть определена лишь при $t\gt0$, правая — при любом $t$).
2
Получаем уравнение-следствие $x^2-4x+3=2x-5 \;\Leftrightarrow\; x^2-6x+8=0 \;\Leftrightarrow\; x\in\{2;\,4\}$.
3
Проверка: при $x=4$ выражение $x^2-4x+3=3\gt0$ — подходит и по значению, и по знаку. При $x=2$: $x^2-4x+3=-1\lt0$ — логарифм не определён, корень посторонний.
4
Ответ: $x=4$.
Частая ошибкаПри освобождении от знаменателя ($\dfrac{f(x)}{g(x)}=0 \Rightarrow f(x)=0$) ученик забывает, что знаменатель $g(x)$ не может быть нулём. Каждый корень нужно подставить в $g(x)$ — если он обращает знаменатель в ноль, это посторонний корень, даже если он "красиво" получился.
Запомни
Другие источники посторонних корней
- приведение подобных стирает область определения сократившегося слагаемого;
- освобождение от знаменателя стирает условие $g(x)\ne0$;
- применение формулы с $M_1\subset M_2$ расширяет область определения — тоже следствие, а не равносильность;
- в любом случае проверка каждого корня в исходном уравнении обязательна, даже если "кажется, что посторонних нет".