🔑ИдеяЛогарифм — как "серийный номер" числа: если два серийных номера по одному основанию совпали, значит, сами числа тоже совпадают. Отбрасывая знак $\log_a$ (потенцируя), мы переходим от равенства номеров к равенству самих выражений — но при этом теряем информацию о том, что каждое из выражений обязано быть положительным (у отрицательного числа логарифма не существует).
📐ПравилоПусть $a\gt0,\,a\ne1$. Тогда следствием уравнения $\log_a f(x)=\log_a g(x)$ является уравнение $f(x)=g(x)$. Такую замену называют потенцированием логарифмического уравнения.
Доказательство простое: если для корня $x_0$ существуют числа $\log_a f(x_0)$ и $\log_a g(x_0)$ и они равны, то равны и сами числа $f(x_0)=g(x_0)$ (у равных логарифмов по одному основанию — равные числа). Значит, $x_0$ — корень и уравнения $f(x)=g(x)$.
3Проверка: при $x=1$ выражение под логарифмом $x^5+x^2-4=1+1-4=-2\lt0$ — логарифм не существует, корень посторонний. При $x=3$ оба выражения положительны и равны.
4Ответ: $x=3$.
Пример 2 (тригонометрия)
Уравнение $\log_3\cos2x=\log_3\sin x$ после потенцирования и формулы косинуса двойного угла даёт следствие $1-2\sin^2x=\sin x$. Из него получаются серии $\sin x=\tfrac12$ и $\sin x=-1$, но проверкой знака подтверждается только серия $\sin x=\tfrac12$ — при $\sin x=-1$ значение $\cos2x=1-2=-1\lt0$, логарифм не существует, вся серия отбрасывается.
⚠️Частая ошибкаПосле потенцирования ученик решает получившееся уравнение $f(x)=g(x)$ и сразу выписывает ответ — забывая, что нужно проверить знак хотя бы одного из выражений ($f(x)\gt0$ или $g(x)\gt0$) в каждом найденном корне. Именно потеря знака при потенцировании — источник посторонних корней.
Запомни
🧠Потенцирование
$\log_a f(x)=\log_a g(x) \;\Rightarrow\; f(x)=g(x)$ — переход к уравнению-следствию;
посторонние корни появляются там, где $f(x)\le0$ (или $g(x)\le0$) — логарифм не определён;
проверка знака выражения под логарифмом — обязательный последний шаг;
то же самое правило работает и для более сложных цепочек преобразований логарифмов.