8.5. Применение нескольких преобразований, приводящих к уравнению-следствию
🔑ИдеяРеальные уравнения редко решаются одним преобразованием — обычно это цепочка: возвели в квадрат, привели подобные, ещё раз возвели в квадрат... Каждое звено цепи может добавить свой посторонний корень, но множество корней исходного уравнения при этом только расширяется, никогда не теряется. Поэтому итоговая проверка — не формальность, а единственный способ вернуться к правильному ответу.
📐ПравилоЕсли уравнение $B$ — следствие уравнения $A$, а уравнение $C$ — следствие уравнения $B$, то $C$ — тоже следствие $A$ (следствие следствия — тоже следствие). Так и получаются длинные цепочки: $A \Rightarrow B \Rightarrow C \Rightarrow \dots$, а корни исходного уравнения гарантированно находятся среди корней самого последнего уравнения в цепочке.
1Возводим в квадрат: $x+1+2\sqrt{x+1}\sqrt{x-4}+x-4=3x+1$.
2Приводим подобные и оставляем корень один: $2\sqrt{x+1}\sqrt{x-4}=x+4$.
3Возводим в квадрат второй раз: $4(x+1)(x-4)=x^2+8x+16 \;\Leftrightarrow\; x\in\bigl\{-\tfrac43;\,8\bigr\}$.
4Проверка в исходном уравнении: $x=8$ подходит, $x=-\tfrac43$ — нет ($x-4$ там отрицателен, корня не существует). Ответ: $x=8$.
Ещё цепочки из учебника
Пример 2. $\sqrt{\dfrac{2x-2}{x+4}}+\operatorname{ctg}x=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}}+\operatorname{ctg}x$: возведение в квадрат → приведение подобных → освобождение от знаменателя даёт корни $\{0;\,1\}$, но проверка оставляет только $x=1$.
Пример 3. $\log_2(3x+1)+\log_2(x-1)=2\log_2(x+3)$: сворачиваем сумму логарифмов по формуле → потенцируем → получаем корни $\{-1;\,5\}$, но проверка оставляет только $x=5$.
⚠️Частая ошибкаПосле длинной цепочки преобразований ученик, устав считать, забывает вернуться к самому первому уравнению для проверки — и подставляет корни в промежуточное уравнение-следствие. Проверять нужно именно в исходном уравнении, иначе посторонний корень легко "проскочит" как настоящий.
Запомни
🧠Цепочка преобразований
следствие следствия — тоже следствие: $A\Rightarrow B\Rightarrow C$ даёт $A\Rightarrow C$;
множество корней вдоль цепочки только расширяется — потерять корень исходного уравнения невозможно;
каждое отдельное звено может добавить свой посторонний корень — их может накопиться несколько;
проверка — всегда в исходном уравнении, а не в последнем уравнении-следствии цепочки.