🔑ИдеяСистема — это требование "выполнить всё сразу" (условия соединены союзом "И"): решение должно попасть в каждый из промежутков одновременно. А совокупность — это "выполнить хотя бы одно" (союз "ИЛИ"): подходит любое число хотя бы из одной из систем. По сути, система — это пересечение множеств решений, а совокупность — их объединение.
📐ОпределениеЕсли дано несколько уравнений и неравенств с неизвестным $x$ и требуется найти все $x$, удовлетворяющие каждому из них — это система (записывают фигурной скобкой). Число $x_0$ — решение системы, если оно удовлетворяет каждому условию. Решить систему — значит найти все её решения или показать, что их нет.
Равносильность
1Две системы равносильны, если множества их решений совпадают.
2Уравнение (неравенство) равносильно системе, если множество решений уравнения (неравенства) совпадает с множеством решений системы.
3Например, $\dfrac{x-2}{x-3}=\dfrac{x+5}{x-4}$ равносильно системе $\begin{cases}(x-2)(x-4)=(x+5)(x-3)\\x-3\ne0\\x-4\ne0\end{cases}$ — знаменатели нельзя обнулять.
Совокупность систем
Совокупность — это несколько систем, объединённых квадратной скобкой; решение совокупности — число, подходящее хотя бы одной из систем (объединение множеств решений).
Пример 1. $|x+1|=2x-3$ равносильно совокупности $\left[\begin{gathered}\begin{cases}x+1\ge0\\x+1=2x-3\end{cases}\\\begin{cases}x+1\lt0\\-x-1=2x-3\end{cases}\end{gathered}\right.$ — модуль расщепляет уравнение на два случая по знаку.
Пример 2. $(x-1)(x-2)\gt0$ равносильно совокупности $\left[\begin{gathered}\begin{cases}x-1\gt0\\x-2\gt0\end{cases}\\\begin{cases}x-1\lt0\\x-2\lt0\end{cases}\end{gathered}\right.$ — произведение положительно, когда оба множителя одного знака.
⚠️Частая ошибкаУченик путает союзы "И" и "ИЛИ": решает систему как совокупность (берёт объединение вместо пересечения) или наоборот. Фигурная скобка $\{$ — всегда пересечение (система, "И"), квадратная скобка $[$ — всегда объединение (совокупность, "ИЛИ").
Запомни
🧠Система и совокупность
система $\{$ — пересечение множеств решений, все условия одновременно;
совокупность $[$ — объединение множеств решений, хотя бы одно условие;
уравнение/неравенство равносильно системе или совокупности, если множества решений совпадают;
модуль и знак произведения/частного — типичный повод перейти к совокупности систем.