🔑ИдеяА что если вместо "решить, а потом проверить" сразу встроить условие проверки в само решение? Так и работает переход к системе: уравнение заменяется на систему "уравнение без корня $+$ условие на знак", и решать её сразу равносильно — без единого постороннего корня и без отдельной проверки в конце.
📐Правило 1 — уравнение со знаком корняУравнение $\sqrt[2m]{f(x)}=g(x)$ равносильно системе $\begin{cases}f(x)=(g(x))^{2m}\\g(x)\ge0\end{cases}$ — возводим в степень, но обязательно требуем, чтобы правая часть была неотрицательна (ведь корень чётной степени не бывает отрицательным).
Пример 1
Решим уравнение $\sqrt{2x+29}=3-x$.
1Переходим к равносильной системе: $\begin{cases}2x+29=(3-x)^2\\3-x\ge0\end{cases}$.
3Проверяем неравенство $3-x\ge0$: при $x=-2$ верно ($5\ge0$), при $x=10$ — нет ($-7\ge0$ ложно).
4Ответ: $x=-2$ — единственное решение системы, а значит и равносильного ей уравнения.
Ещё правила-системы
Корень = корню: $\sqrt[2m]{f(x)}=\sqrt[2m]{g(x)} \Leftrightarrow \begin{cases}f(x)=g(x)\\g(x)\ge0\end{cases}$ (одного из неравенств достаточно).
Логарифм = логарифму: $\log_af(x)=\log_ag(x) \Leftrightarrow \begin{cases}f(x)=g(x)\\g(x)\gt0\end{cases}$ при $a\gt0,\,a\ne1$.
Приведение подобных: $f(x)+\varphi(x)-\varphi(x)=0 \Leftrightarrow \begin{cases}f(x)=0\\x\in D(\varphi)\end{cases}$, где $D(\varphi)$ — область определения сократившейся функции.
Пример с логарифмом
Уравнение $\lg(x^2-4)=\lg(6x+4)$ равносильно системе $\begin{cases}x^2-4=6x+4\\6x+4\gt0\end{cases}$. Корни уравнения $x=3\pm\sqrt{17}$; неравенству удовлетворяет только $x=3+\sqrt{17}$ (у второго корня $6x+4\lt0$). Ответ: $x=3+\sqrt{17}$.
⚠️Частая ошибкаПереходя к системе, ученик решает только уравнение системы и забывает подставить корни во второе (неравенство). Но именно неравенство и есть "встроенная проверка" — без него система превращается обратно в уравнение-следствие с риском постороннего корня.
Запомни
🧠Решение через равносильную систему
переход к системе — способ сразу получить равносильное уравнение, без отдельной проверки в конце;
для $\sqrt[2m]{f(x)}=g(x)$ обязательное условие — $g(x)\ge0$;
для логарифмов — $g(x)\gt0$ (или $f(x)\gt0$, любое одно из двух);
решаем уравнение системы, затем отбираем только те корни, что удовлетворяют неравенству.