9.3. Решение уравнений с помощью систем (продолжение)
🔑ИдеяПроизведение равно нулю, когда обнуляется хотя бы один множитель — но обнулившийся множитель должен ещё и попасть в область определения второго. А частное равно нулю, когда числитель нулевой, а знаменатель существует и не ноль. Оба правила укладываются в уже знакомую схему "уравнение + условие", просто одно даёт совокупность систем, а другое — одну систему.
📐Правило 5 — произведение равно нулюУравнение $f_1(x)\cdot f_2(x)=0$ равносильно совокупности систем $\left[\begin{gathered}\begin{cases}f_1(x)=0\\x\in D(f_2)\end{cases}\\\begin{cases}f_2(x)=0\\x\in D(f_1)\end{cases}\end{gathered}\right.$, где $D(f_1)$, $D(f_2)$ — области определения множителей.
Пример 1
Решим уравнение $\sqrt{x}\cdot(x+1)=0$.
1Система 1: $\sqrt{x}=0$ и $x\in D(x+1)=\mathbb{R}$ — даёт единственное решение $x=0$.
2Система 2: $x+1=0$ и $x\in D(\sqrt{x})=[0;+\infty)$ — корень $x=-1$ не входит в область, решений нет.
3Объединяем решения совокупности: только $x=0$.
📐Правило 6 — частное равно нулюУравнение $\dfrac{f(x)}{g(x)}=0$ равносильно системе $\begin{cases}f(x)=0\\g(x)\ne0\end{cases}$. Запись $g(x)\ne0$ означает сразу два условия: $g(x)$ определено и $g(x)\ne0$.
Пример 5
Решим уравнение $\dfrac{x^2-4x+3}{\sqrt{x-2}}=0$.
1Переходим к системе: $\begin{cases}x^2-4x+3=0\\\sqrt{x-2}\ne0\end{cases}$.
2Корни числителя: $x\in\{1;\,3\}$.
3Проверяем знаменатель: при $x=1$ выражение $x-2=-1\lt0$ — корень $\sqrt{x-2}$ не определён, значит $x=1$ не подходит. При $x=3$: $x-2=1\gt0$, $\sqrt{1}=1\ne0$ — подходит.
4Ответ: $x=3$.
⚠️Частая ошибкаРешая $f_1(x)\cdot f_2(x)=0$, ученик находит корни каждого множителя и просто объединяет их в ответ — забывая про условие "$x$ входит в область определения другого множителя". Именно эта проверка отсекает "мнимые" корни, где сам множитель равен нулю, а произведение при этом не определено.
Запомни
🧠Произведение и частное равны нулю
$f_1\cdot f_2=0$ — совокупность двух систем, в каждой корень одного множителя + область определения другого;
$\dfrac{f}{g}=0 \Leftrightarrow \begin{cases}f=0\\g\ne0\end{cases}$ — числитель ноль, знаменатель существует и не ноль;
условие $g(x)\ne0$ включает в себя и "$g(x)$ определено";
для длинных цепочек преобразований к системам используют символы $\Leftrightarrow$, $\{$ (система) и $[$ (совокупность).