🔑ИдеяЕсли функция $f$ строго монотонна (только растёт или только убывает), она никогда не "склеивает" разные входы в один и тот же выход — как биекция между входом и выходом. Значит, из равенства $f(\alpha(x))=f(\beta(x))$ сразу следует $\alpha(x)=\beta(x)$, без всяких посторонних корней — монотонность автоматически даёт равносильность!
📐ПравилоПусть область существования $f(u)$ есть промежуток $M$, и $f$ строго монотонна на $M$. Тогда уравнение $f(\alpha(x))=f(\beta(x))$ равносильно системе $\begin{cases}\alpha(x)=\beta(x)\\\alpha(x)\in M\\\beta(x)\in M\end{cases}$ (любое одно из условий на $M$ можно опустить — оно следует из равенства $\alpha(x)=\beta(x)$).
Пример 1
Решим уравнение $\arccos(x^2-15)=\arccos(x+5)$.
1Область $\arccos u$ — промежуток $M=[-1;\,1]$, функция убывает на нём.
3Уравнение $x^2-x-20=0$ имеет корни $x\in\{-4;\,5\}$. Неравенству $-6\le x\le-4$ удовлетворяет только $x=-4$.
4Ответ: $x=-4$.
Частный случай: область — вся числовая прямая
Если $f(u)$ монотонна на всём $\mathbb{R}$, ограничение на $M$ отпадает само собой, и уравнение $f(\alpha(x))=f(\beta(x))$ становится равносильно просто уравнению $\alpha(x)=\beta(x)$ — без всякой системы!
Пример 3. Для $\left(\tfrac12\right)^{x^2-2x+5}+9^{-(x^2-2x+5)}=\left(\tfrac12\right)^{2x^2-3x-1}+9^{-(2x^2-3x-1)}$ функция $f(u)=(\tfrac12)^u+9^{-u}$ убывает на всём $\mathbb{R}$, поэтому уравнение сразу сводится к $x^2-2x+5=2x^2-3x-1$, откуда $x\in\{-2;\,3\}$.
⚠️Частая ошибкаУченик сразу приравнивает $\alpha(x)=\beta(x)$, не проверив, что функция $f$ действительно строго монотонна на области, куда попадают оба выражения. Если $f$ не монотонна (например, имеет экстремум внутри промежутка), один и тот же выход может соответствовать разным входам — и приём даёт неверный результат.
Запомни
🧠Монотонность как ключ к равносильности
строго монотонная функция не даёт постороннего корня: $f(\alpha)=f(\beta) \Leftrightarrow \alpha=\beta$ (на области $M$);
обязательна проверка монотонности $f$ на промежутке, куда попадают оба аргумента;
если область — вся числовая прямая, условие на $M$ можно вообще опустить;
этот приём особенно полезен для $\arccos$, $\arcsin$, показательных и корней высоких степеней.