💡 Из жизни: представь, что у тебя есть кубики-«многочлены» и
кубики-«одночлены». Из них разрешено строить конструкции только двумя способами —
складывать/вычитать кубики друг с другом или соединять их умножением. Какую бы
сложную конструкцию так ни собрать, её всегда можно «разобрать» и переписать
одним многочленом. Но если бы тебе ещё разрешили «делить одну кучку кубиков на
другую» так, что в знаменателе оказалась буква, — итог мог бы получиться дробным,
и свести его к многочлену уже не получится. Именно поэтому такие выражения с
делением на букву больше не называют целыми.
Определение.Целым выражением называют такое
алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками
сложения, вычитания и умножения.
Например, целыми являются выражения $(a+b)(c-d)+(a-b)-(c-d)$,
$-a(b-c)^3+(d-c)-a^3-5$, $-(a-b)-cd$. Считают, что многочлен — тоже
частный случай целого выражения (ведь его можно рассматривать как единственное
слагаемое), а значит и одночлен, и просто число тоже являются целыми
выражениями.
Как проверить, целое ли выражение перед тобой
Посмотри на четыре выражения справа и определи, какие действия в них
используются. Если это только сложение, вычитание и умножение многочленов —
выражение целое. Если где-то встречается деление на выражение с
буквой — уже нет.
$7a^2bc$ — это одночлен, а любой
одночлен сам по себе уже является целым выражением.
$3xy(2a+3b)$ — произведение одночлена
и многочлена, тоже целое выражение.
$(x-2)(3y+4)-\tfrac{2abc}{mn}$ — здесь
есть деление на $mn$, а это буквы! Значит, выражение не целое.
$2x(3-x)+4-8x$ — снова только
сложение, вычитание и умножение многочленов, поэтому выражение целое.
Деление на обычное число (не на букву) целостность выражения не
портит — например, $\tfrac13 a^2+\tfrac13 b^2$ всё равно целое выражение, ведь
деление на $3$ — это то же самое, что умножение на дробное число $\tfrac13$.
Любое целое выражение можно свести к многочлену
Целые выражения можно упрощать по тем же правилам, по которым складывают,
вычитают и умножают многочлены. А значит, раскрывая скобки и приводя подобные
слагаемые шаг за шагом, любое целое выражение в итоге можно
преобразовать в многочлен стандартного вида. Иначе говоря: каждое целое
выражение равно какому-то многочлену.
Разбор примера: упрощение целого выражения
Упростим целое выражение из учебника: $15a^3b^2-(3a^2b+a)(5ab-2)$.
1
Сначала раскрываем скобки — перемножаем многочлены $(3a^2b+a)$ и $(5ab-2)$,
умножая каждый член одного на каждый член другого:
$$(3a^2b+a)(5ab-2)=15a^3b^2-6a^2b+5a^2b-2a.$$
2
Подставляем результат обратно на место скобки. Перед скобкой стоит минус,
поэтому меняем знак у каждого члена внутри неё:
$$15a^3b^2-(15a^3b^2-6a^2b+5a^2b-2a)=15a^3b^2-15a^3b^2+6a^2b-5a^2b+2a.$$
3
Приводим подобные слагаемые: $15a^3b^2$ и $-15a^3b^2$ — противоположные,
они уничтожаются; $6a^2b$ и $-5a^2b$ складываются в $a^2b$.
4
Получаем многочлен стандартного вида — это и есть итоговое упрощённое
выражение:
$$15a^3b^2-(3a^2b+a)(5ab-2)=a^2b+2a.$$
Частая ошибка
⚠️ Частая ошибка: раскрывая скобку, перед которой стоит минус,
меняют знак только у первого члена внутри неё, забывая про
остальные. Например, на шаге 2 выше иногда ошибочно пишут
$$15a^3b^2-15a^3b^2-6a^2b+5a^2b-2a$$
(поменяли знак только у $15a^3b^2$), хотя минус перед скобкой относится
ко всем членам внутри неё, и правильно будет
$$15a^3b^2-15a^3b^2+6a^2b-5a^2b+2a.$$
Запомни
🧠 Целое выражение — это несколько многочленов, соединённых
сложением, вычитанием и умножением. Число, одночлен и многочлен — тоже целые
выражения. Деление на число целостность не нарушает, а деление на выражение с
буквой — нарушает. Любое целое выражение можно упростить и
привести к многочлену стандартного вида, раскрывая скобки и приводя подобные
слагаемые — при этом не забывай менять знак у всех членов
скобки, перед которой стоит минус.