9.6. Решение неравенств с помощью систем (продолжение)
🔑ИдеяПроизведение или частное двух функций положительно ровно в двух ситуациях: когда оба сомножителя положительны, или когда оба отрицательны. Значит, неравенство $f(x)g(x)>0$ распадается не на одну систему, а на объединение двух систем — и решение нужно собрать из обеих.
📐Утверждения 6 и 7Множество решений каждого из неравенств $f(x)\cdot g(x)>0$ и $f(x)/g(x)>0$ есть объединение множеств решений двух систем: $\{f(x)>0,\ g(x)>0\}$ и $\{f(x)<0,\ g(x)<0\}$.
Аналогично для неравенств $f(x)\cdot g(x)<0$ и $f(x)/g(x)<0$ — это объединение решений систем $\{f(x)>0,\ g(x)<0\}$ и $\{f(x)<0,\ g(x)>0\}$.
Пример из учебника
Решим неравенство $\cos x\cdot\lg(x+1)<0$.
Оно равносильно объединению решений систем $\{\cos x>0,\ \lg(x+1)<0\}$ и $\{\cos x<0,\ \lg(x+1)>0\}$. Первая система даёт промежуток $(-1;\,0)$, вторая — серию промежутков $\left(-\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n;\,-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\right)$, $n\in\mathbb{N}$.
⚠️Частая ошибкаРешают только одну из двух систем — например, находят промежуток, где $f>0$ и $g>0$, и забывают про промежуток, где оба сомножителя отрицательны (для случая $>0$) или про вторую комбинацию знаков (для случая $<0$). Итоговый ответ теряет часть корней. Всегда проверяй: обе системы решены, и их решения объединены через "или".
Запомни
🧠Знак произведения и частного
$f\cdot g>0$ (и $f/g>0$) $\Leftrightarrow$ знаки $f$ и $g$ совпадают — объединение систем $\{f>0,g>0\}$ и $\{f<0,g<0\}$;
$f\cdot g<0$ (и $f/g<0$) $\Leftrightarrow$ знаки $f$ и $g$ различны — объединение систем $\{f>0,g<0\}$ и $\{f<0,g>0\}$;
для частного дополнительно нужно $g(x)\ne0$ — область определения выражения.