11 класс · Уравнения. Неравенства. Системы

Решение неравенств с помощью систем

🔑 ИдеяС неравенствами тот же приём, что и с уравнениями: заменяем корень/логарифм на систему условий "без знака корня" $+$ "область допустимых значений". Разница лишь в том, что теперь решением служит не отдельная точка, а промежуток — и важно аккуратно следить за открытыми и закрытыми концами.
📐 Правило 1 — корень меньшеНеравенство $\sqrt[2m]{f(x)}\lt g(x)$ равносильно системе $\begin{cases}f(x)\lt(g(x))^{2m}\\f(x)\ge0\\g(x)\gt0\end{cases}$ — раз корень (неотрицательный) меньше $g(x)$, то и сам $g(x)$ обязан быть положительным.

Пример 1

Решим неравенство $\sqrt{5-x^2}\lt x-1$.

1 Система: $\begin{cases}5-x^2\lt(x-1)^2\\5-x^2\ge0\\x-1\gt0\end{cases}$.
2 Упрощаем: $\begin{cases}x^2-x-2\gt0\\1\lt x\le\sqrt5\end{cases}$.
3 Решение первого неравенства: $x\lt-1$ или $x\gt2$. Пересекаем с $1\lt x\le\sqrt5$: остаётся $2\lt x\le\sqrt5$.
4 Ответ: $x\in(2;\,\sqrt5\,]$.

Правило 2 — корень больше (совокупность)

Неравенство $\sqrt[2m]{f(x)}\gt g(x)$ равносильно совокупности систем $\left[\begin{gathered}\begin{cases}f(x)\gt(g(x))^{2m}\\g(x)\ge0\end{cases}\\\begin{cases}f(x)\ge0\\g(x)\lt0\end{cases}\end{gathered}\right.$ — либо честно возводим в степень (при $g\ge0$), либо неравенство верно автоматически, раз корень неотрицателен, а $g(x)$ уже отрицателен.

Пример 2. $\sqrt[4]{x+6}\gt x+1$ — объединение решений $[-1;\,19)$ и $[-6;\,-1)$ даёт ответ $[-6;\,19)$.

Ещё правила: логарифмы и приведение подобных

Логарифм: $\log_af(x)\gt\log_ag(x)$ при $a\gt1$ равносильно двойному неравенству $f(x)\gt g(x)\gt0$, а при $0\lt a\lt1$ — неравенству $0\lt f(x)\lt g(x)$ (знак меняется вместе с направлением монотонности логарифма).

Приведение подобных: $f(x)+\varphi(x)-\varphi(x)\gt0$ равносильно системе $\begin{cases}f(x)\gt0\\x\in D(\varphi)\end{cases}$ — та же логика, что и для уравнений.

⚠️ Частая ошибкаПри переходе к двойному неравенству $f(x)\gt g(x)\gt0$ ученик решает только $f(x)\gt g(x)$, забывая проверить ещё и $g(x)\gt0$ отдельно. Двойное неравенство — это система из двух условий одновременно, оба обязательны.

Запомни

🧠 Неравенства через системы
  • $\sqrt[2m]{f}\lt g$ — система (одно решение-промежуток), $\sqrt[2m]{f}\gt g$ — совокупность (объединение промежутков);
  • логарифмическое неравенство при $a\gt1$ и при $0\lt a\lt1$ даёт разные двойные неравенства;
  • концы промежутков (открытые/закрытые) определяются строгостью каждого неравенства системы;
  • проверяй оба условия двойного неравенства — оба обязательны, не только одно.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике