🔑ИдеяЕсли функция монотонна — только растёт или только убывает — она не путает порядок чисел (или переворачивает его строго наоборот). Значит, сравнение $f(\alpha(x))$ и $f(\beta(x))$ можно "снять" внешнюю $f$ и сравнивать сами $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ — только знак неравенства зависит от того, растёт $f$ или убывает.
📐ОпределениеПусть область существования $f(u)$ — промежуток $M$. Тогда:
1Если $f(u)$ возрастает на $M$, неравенство $f(\alpha(x))>f(\beta(x))$ равносильно системе $\{\alpha(x)>\beta(x),\ \alpha(x)\in M,\ \beta(x)\in M\}$.
2Если $f(u)$ убывает на $M$, неравенство $f(\alpha(x))>f(\beta(x))$ равносильно системе $\{\alpha(x)<\beta(x),\ \alpha(x)\in M,\ \beta(x)\in M\}$.
Частный случай: если $M=\mathbb{R}$, условия принадлежности можно опустить — остаётся просто $\alpha(x)>\beta(x)$ (при возрастании) или $\alpha(x)<\beta(x)$ (при убывании).
Пример из учебника
Решим неравенство $\arccos(x+2)>\arccos(3x+6)$.
Область существования $f(u)=\arccos u$ — промежуток $[-1;1]$, и на нём $f$ убывает. Значит, неравенство равносильно системе:
$$\{x+2<3x+6,\ -1\le x+2\le1,\ -1\le3x+6\le1\}$$
Решение системы — промежуток $\left(-2;\,-\tfrac{5}{3}\right]$. Это и есть ответ, так как неравенство равносильно системе.
⚠️Частая ошибкаСравнивают $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ напрямую, но забывают добавить в систему условия $\alpha(x)\in M$ и $\beta(x)\in M$ — то есть проверку, что оба аргумента реально попадают в область существования $f$. Без этих условий ответ может включить посторонние решения.
Запомни
🧠Снятие монотонной функции
$f$ возрастает $\Rightarrow$ знак неравенства при переходе к $\alpha(x),\beta(x)$ сохраняется;
$f$ убывает $\Rightarrow$ знак неравенства меняется на противоположный;
всегда добавляй условия $\alpha(x)\in M$, $\beta(x)\in M$ — иначе потеряешь равносильность.